Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
(2 xy-yx^2+y^2) d x+(xx^2+y^2-x^2y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(2xy-yx^2+y^2r),dx +l(xx^2+y^2-x^2y^2r),dy=0
Este é um caso de equação exata. Vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial phi(x,y).

Passo 2

Definimos
M(x,y)=2xy-yx^2+y^2, N(x,y)=xx^2+y^2-x^2y^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =-2xy^2 -x^2-y^2(x^2+y^2)^2, partial Npartial x =-2xy^2 -x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para obter phi(x,y), integramos M em relação a x:
phi(x,y) =integral M,dx =integral 2xy,dx -integral yx^2+y^2,dx =x^2y-arctan!l(tfracxyr)+h(y)

Passo 4

Determinamos h(y) impondo phiy=N:
partial phipartial y =-x^2y^2 +xx^2+y^2 +h'(y) stackrel!= xx^2+y^2-x^2y^2,
logo h'(y)=0 e h é constante.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^2y -arctan!l(xyr) =C,
onde C é constante arbitrária.

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