Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
Hint: Let
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de primeira ordem
e sugere a substituição
. Vamos usar essa troca para transformar a ODE em uma equação linear em
como função de
.
Passo 2
Como
, temos
Substituindo na ODE original:
Cancelando
em ambos os lados fica
Passo 3
Invertendo para obter uma equação em
:
Reescrevendo em forma padrão de ODE linear:
Passo 4
O fator integrante é
Multiplicando a equação linear por
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Logo
Passo 6
Voltando à variável original
com
, obtemos
Resposta
A solução geral está dada implicitamente por
onde
é a constante de integração.