Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x=xx^2 y+y^3 Hint: Let u=x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de primeira ordem
dydx = xx^2y + y^3
e sugere a substituição u = x^2. Vamos usar essa troca para transformar a ODE em uma equação linear em u como função de y.

Passo 2

Como u = x^2, temos
dudx = 2x implies dydx = dudx,dydu = 2x,dydu
Substituindo na ODE original:
2x,dydu = xyl(x^2+y^2r) = xyl(u+y^2r)
Cancelando x em ambos os lados fica
2,dydu = 1y,(u+y^2)

Passo 3

Invertendo para obter uma equação em u(y):
dudy = 2,y,(u+y^2)
Reescrevendo em forma padrão de ODE linear:
dudy - 2y,u = 2y^3

Passo 4

O fator integrante é
mu(y) = expl(integral -2y,dyr) = e^-y^2
Multiplicando a equação linear por mu(y):
ddyl(u,e^-y^2r) = 2y^3,e^-y^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a y:
u,e^-y^2 = integral 2y^3,e^-y^2,dy = -,(y^2+1),e^-y^2 + C
Logo
u = C,e^y^2 - y^2 - 1

Passo 6

Voltando à variável original x com u = x^2, obtemos
x^2 = C,e^y^2 - y^2 - 1 Longrightarrow x^2 + y^2 + 1 = C,e^y^2

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
x^2 + y^2 + 1 = C,e^y^2,
onde C é a constante de integração.

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