Ache os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais [sn] e encontre uma fórmula para sn em termos de n. Também determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^+infty ln (2 n-12 n+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais
l[snr] da série
sumn=1^inftyln!gl(2n-12n+1gr),
achar uma fórmula geral para sn e verificar se a série converge ou diverge.
O conteúdo principal aqui é usar a propriedade
sumln ak=lnprod ak
e observar um “telescoping” no produto.

Passo 2

Escrevemos
sn=sumk=1^nln!gl(2k-12k+1gr) =ln!gl(prodk=1^n2k-12k+1gr)
O produto interno é
prodk=1^n2k-12k+1 =1cdot3cdot5cdots(2n-1)3cdot5cdot7cdots(2n+1)
Cancelando os fatores comuns 3,5,dots,2n-1, sobra
prodk=1^n2k-12k+1 =12n+1
Logo
sn =ln!gl(12n+1gr) =-ln(2n+1)

Passo 3

Agora basta substituir n=1,2,3,4 em ;sn=-ln(2n+1):
s1=-ln(3), s2=-ln(5), s3=-ln(7), s4=-ln(9)

Passo 4

Para verificar a convergência, analisamos
limntoinftysn =limntoinftyl[-ln(2n+1)r] =-infty
Como as somas parciais não tendem a um valor finito, a série diverge.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
s1=-ln(3), s2=-ln(5), s3=-ln(7), s4=-ln(9)
A fórmula geral é
sn=-ln(2n+1)
A série diverge, pois limntoinftysn=-infty.

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