Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
(x^2+y) d x+(x+e^y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(x^2+yr),dx+l(x+e^yr),dy=0
O conteúdo aqui é equação diferencial exata, isto é, queremos achar uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=x^2+y, partial Psipartial y=x+e^y

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais de
M(x,y)=x^2+y e N(x,y)=x+e^y:
partial Mpartial y =partialpartial y(x^2+y)=1, partial Npartial x =partialpartial x(x+e^y)=1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Integramos partial Psi/partial x=M em relação a x:
Psi(x,y)=integral(x^2+y),dx =x^33+xy+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo partial Psi/partial y=N, temos
partial Psipartial y =x+h'(y) stackrel!= x+e^y Longrightarrow h'(y)=e^y Longrightarrow h(y)=e^y

Passo 5

Logo, a função potencial é
Psi(x,y)=x^33+xy+e^y
e a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
Psi(x,y)=C,
isto é,
x^33+xy+e^y=C

Resposta

x^33+xy+e^y=C

Exercícios relacionados