Solve the IVP. Show the steps of derivation, beginning with the general solution.
y^prime=1+4 y^2, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y' = 1 + 4y^2,
com condição inicial y(1)=0.
Este é um caso de equação de primeira ordem separável, pois podemos escrever todas as ocorrências de y de um lado e de x do outro.

Passo 2

Separamos as variáveis e integramos ambos os lados:
integral dy1 + 4y^2 ;=;integral dx
Para calcular a integral à esquerda, usamos que
ddyl(arctan(2y)r)=21+4y^2.
Logo,
integral dy1+4y^2 =12integral 2,dy1+4y^2 =12,arctan(2y) =x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

A partir de
12,arctan(2y)=x + C
multiplicamos por 2 e aplicamos a tangente em ambos os lados:
arctan(2y)=2x + C', 2y=tan(2x + C'), y=12tanl(2x + C'r),
sendo C'=2C outra constante.

Passo 4

Impondo y(1)=0 na solução geral
0 = 12tanl(2cdot1 + C'r) ;Longrightarrow; tan(2 + C')=0 ;Longrightarrow; 2 + C' = kpi,;kinZ
Para a solução mais simples, tomamos k=0, obtendo C'=-2. Assim a solução particular é
y(x)=12tanl(2x - 2r)

Resposta

y(x)=dfrac12tanl(2x - 2r).

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