Solve the IVP. Show the steps of derivation, beginning with the general solution.
x y^prime+y=0, y(4)=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
x,y'(x) + y(x) = 0,
com a condição inicial y(4)=6.
Este é um problema de equação diferencial de primeira ordem, linear e homogênea, que também é separável.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão dividindo por x (supondo xneq0):
y'(x) + 1x,y(x) = 0

Passo 3

Como é homogênea e separável, passamos todos os termos em y para um lado e os de x para o outro:
y'(x) = -1x,y(x) Longrightarrow y'(x)y(x) = -1x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral y'(x)y(x),dx = integral -1x,dx Longrightarrow lnl|y(x)r| = -lnl|xr| + C
Aplicando propriedades de logaritmo:
lnl|y(x)r| + lnl|xr| = C Longrightarrow lnl|x,y(x)r| = C Longrightarrow y(x) = Ax,
onde A = pm e^C é constante arbitrária.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(4)=6:
6 = A4 Longrightarrow A = 24
Logo a solução particular é
y(x) = 24x

Resposta

y(x) = 24x

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