Find a general solution. Show the steps of derivation. Check your answer by substitution.
x y^prime=x+y ( Set y / x=u)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
xdydx = x + y
Conforme sugerido, fazemos a mudança de variável
,u = yx,.

Passo 2

Substituindo y = u x obtemos
dydx = u + xdudx
Logo a equação original vira
xl(u + xdudxr) = x + u x

Passo 3

Expandindo e cancelando termos iguais, vem
x u + x^2dudx = x + u x Longrightarrow x^2dudx = x
Isolando e integrando,
dudx = 1x Longrightarrow u = integral 1x,dx = lnlvert xrvert + C

Passo 4

Voltando à variável y,
y = u x = xl(lnlvert xrvert + Cr) = xlnlvert xrvert + Cx

Passo 5

Verificação por substituição:
dydx = lnlvert xrvert + 1 + C Longrightarrow xdydx = x(lnlvert xrvert + 1 + C) = xlnlvert xrvert + x + Cx = x + y,
confirmando que a solução satisfaz a equação original.

Resposta

A solução geral é
y(x) = xlnlvert xrvert + Cx,
onde C é constante arbitrária.

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