Solve the system
u=2 x-3 y, v=-x+y
for x and y in terms of u and v. Then find the value of the Jacobian partial(x, y) / partial(u, v).

Passo 1

O enunciado pede para inverter o sistema linear dado por u=2x-3y e v=-x+y, ou seja, expressar x e y em função de u e v, e depois calcular a Jacobiana partial(x,y)/partial(u,v). O conteúdo envolve matrizes, determinante, inversão de matriz e definição de Jacobiana.

Passo 2

Reescrevemos o sistema na forma matricial U=A X, onde
U=uv, A=2 & -3 -1 & 1, X=xy
Para inverter a transformação, calculamos o determinante de A:
det(A)=2cdot1-(-3)cdot(-1)=2-3=-1
Em seguida, obtemos a matriz inversa de A pela fórmula A^-1=1det(A)adj(A). O adjunto de A é
adj(A)=1 & 31 & 2,
portanto
A^-1=1-11 & 31 & 2=-1 & -3-1 & -2
Multiplicando X=A^-1U, achamos as fórmulas para x e y:
xy=-1 & -3 -1 & -2 uv =-u-3v-u-2v
A Jacobiana partial(x,y)/partial(u,v) é o determinante da matriz de derivadas parciais, que coincide com A^-1. Logo
partial(x,y)partial(u,v)=det-1 & -3-1 & -2 =(-1)(-2)-(-3)(-1)=2-3=-1

Resposta

x=-u-3v, \quad y=-u-2v, \quad Jacobiana= -1

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