Considere
Determine a constante
tal que a seguinte equação diferencial parcial seja satisfeita
A constante
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente tem uma função $ u(x, t) = (x - 3t) e^{-(x - 3t)^{2}} $ e precisa encontrar a constante $ \lambda $ que faz com que a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $ seja igual a $ \lambda $ vezes a segunda derivada de $ u $ em relação a $ t $. Isso está dentro do tema de equações diferenciais parciais. Para resolver, vamos precisar calcular essas derivadas e relacioná-las para achar $ \lambda $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $. Lembre-se que quando derivamos uma função que é o produto de duas funções, usamos a regra do produto. Aqui, temos $ u(x, t) = f(x, t) \cdot g(x, t) $, onde $ f(x, t) = x - 3t $ e $ g(x, t) = e^{-(x - 3t)^2} $.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente em relação a $ x $ para obter a segunda derivada:
Usamos novamente a regra do produto para derivar essa expressão.
Passo 5
Fazendo a derivação:
Calculando cada derivada:
Então:
Fatorando $ -2(x - 3t) e^{-(x - 3t)^2} $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação a $ t $. Primeiro, derivamos $ u $ em relação a $ t $:
Usando a regra do produto:
Calculando:
Então:
Simplificando:
Passo 7
Vamos agora derivar novamente em relação a $ t $ para obter a segunda derivada:
Usamos a regra do produto:
Calculando cada derivada:
Então:
Fatorando $ 6(x - 3t) e^{-(x - 3t)^2} $:
Passo 8
Agora, temos:
A equação que precisamos satisfazer é:
Substituindo as expressões:
Podemos cancelar $ (x - 3t) e^{-(x - 3t)^2} $ dos dois lados:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer $ x $ e $ t $, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais:
Para $ (x - 3t)^2 $:
Para $ (x - 3t)^2 $:
Para os termos constantes:
Confirmamos que $ \lambda = \frac{1}{9} $ satisfaz ambas as igualdades.
Resposta
A constante $ \lambda $ é igual a $ \frac{1}{9} $.