Considere
u(x, t)=(x-3 t) e^-(x-3 t)^2
Determine a constante lambda tal que a seguinte equação diferencial parcial seja satisfeita
partial^2 upartial x^2=lambda partial^2 upartial t^2
A constante lambda é dada por square

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente tem uma função $ u(x, t) = (x - 3t) e^{-(x - 3t)^{2}} $ e precisa encontrar a constante $ \lambda $ que faz com que a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $ seja igual a $ \lambda $ vezes a segunda derivada de $ u $ em relação a $ t $. Isso está dentro do tema de equações diferenciais parciais. Para resolver, vamos precisar calcular essas derivadas e relacioná-las para achar $ \lambda $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $. Lembre-se que quando derivamos uma função que é o produto de duas funções, usamos a regra do produto. Aqui, temos $ u(x, t) = f(x, t) \cdot g(x, t) $, onde $ f(x, t) = x - 3t $ e $ g(x, t) = e^{-(x - 3t)^2} $.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
partial upartial x = partial fpartial x cdot g + f cdot partial gpartial x
Calculando cada parte:
partial fpartial x = 1
partial gpartial x = e^-(x - 3t)^2 cdot (-2)(x - 3t)
Então:
partial upartial x = 1 cdot e^-(x - 3t)^2 + (x - 3t) cdot (-2)(x - 3t) e^-(x - 3t)^2
Simplificando:
partial upartial x = e^-(x - 3t)^2 - 2(x - 3t)^2 e^-(x - 3t)^2
partial upartial x = e^-(x - 3t)^2 (1 - 2(x - 3t)^2)

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente em relação a $ x $ para obter a segunda derivada:
x
Usamos novamente a regra do produto para derivar essa expressão.

Passo 5

Fazendo a derivação:
partial^2 upartial x^2 = partialpartial x [e^-(x - 3t)^2] cdot (1 - 2(x - 3t)^2) + e^-(x - 3t)^2 cdot partialpartial x (1 - 2(x - 3t)^2)
Calculando cada derivada:
partialpartial x [e^-(x - 3t)^2] = e^-(x - 3t)^2 cdot (-2)(x - 3t)
partialpartial x (1 - 2(x - 3t)^2) = -4(x - 3t)
Então:
partial^2 upartial x^2 = -2(x - 3t) e^-(x - 3t)^2 (1 - 2(x - 3t)^2) - 4(x - 3t) e^-(x - 3t)^2
Fatorando $ -2(x - 3t) e^{-(x - 3t)^2} $:
-2(x - 3t) e^-(x - 3t)^2
partial^2 upartial x^2 = -2(x - 3t) e^-(x - 3t)^2 (1 - 2(x - 3t)^2 + 2)

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação a $ t $. Primeiro, derivamos $ u $ em relação a $ t $:
u
Usando a regra do produto:
t
Calculando:
u
t
Então:
partial upartial t = partialpartial t [ (x - 3t) e^-(x - 3t)^2 ]
Simplificando:
partial upartial t = partial (x - 3t)partial t cdot e^-(x - 3t)^2 + (x - 3t) cdot partialpartial t [e^-(x - 3t)^2]
partial (x - 3t)partial t = -3

Passo 7

Vamos agora derivar novamente em relação a $ t $ para obter a segunda derivada:
t
Usamos a regra do produto:
partial^2 upartial t^2 = partialpartial t [ e^-(x - 3t)^2 ( -3 + 6(x - 3t)^2 ) ]
Calculando cada derivada:
partial^2 upartial t^2 = partialpartial t [e^-(x - 3t)^2] cdot ( -3 + 6(x - 3t)^2 ) + e^-(x - 3t)^2 cdot partialpartial t ( -3 + 6(x - 3t)^2 )
partialpartial t [e^-(x - 3t)^2] = e^-(x - 3t)^2 cdot (-2)(x - 3t)(-3) = 6(x - 3t) e^-(x - 3t)^2
Então:
partialpartial t ( -3 + 6(x - 3t)^2 ) = 12(x - 3t)(-3) = -36(x - 3t)
Fatorando $ 6(x - 3t) e^{-(x - 3t)^2} $:
partial^2 upartial t^2 = 6(x - 3t) e^-(x - 3t)^2 ( -3 + 6(x - 3t)^2 ) + e^-(x - 3t)^2 cdot (-36)(x - 3t)
6(x - 3t) e^-(x - 3t)^2

Passo 8

Agora, temos:
partial^2 upartial x^2 = -2(x - 3t) e^-(x - 3t)^2 (3 - 2(x - 3t)^2)
partial^2 upartial t^2 = 6(x - 3t) e^-(x - 3t)^2 ( -9 + 6(x - 3t)^2 )
A equação que precisamos satisfazer é:
partial^2 upartial x^2 = lambda partial^2 upartial t^2
Substituindo as expressões:
-2(x - 3t) e^-(x - 3t)^2 (3 - 2(x - 3t)^2) = lambda cdot 6(x - 3t) e^-(x - 3t)^2 ( -9 + 6(x - 3t)^2 )
Podemos cancelar $ (x - 3t) e^{-(x - 3t)^2} $ dos dois lados:
(x - 3t) e^-(x - 3t)^2
Simplificando:
-2 (3 - 2(x - 3t)^2) = lambda cdot 6 ( -9 + 6(x - 3t)^2 )
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer $ x $ e $ t $, os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais:
Para $ (x - 3t)^2 $:
-6 + 4(x - 3t)^2 = lambda cdot ( -54 + 36(x - 3t)^2 )
Para os termos constantes:
x
Confirmamos que $ \lambda = \frac{1}{9} $ satisfaz ambas as igualdades.

Resposta

A constante $ \lambda $ é igual a $ \frac{1}{9} $.

Exercícios relacionados