Seja C a curva de equação x^2=4 y no plano x y, com 0 <= x <= raiz5. Chame de S a superfície gerada pela revolução de C ao redor do eixo y.
(d) (0,8 pontos) Calcule integral duplaS x^2+z^2y d S.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS x^2+z^2y,dS, onde S é obtida ao girar a parábola x^2=4y (com 0<= x<=raiz5) em torno do eixo y. O conteúdo aqui é integral de superfície de um campo escalar em superfície de revolução, e vamos usar parametrização e a fórmula clássica de área de superfície gerada por revolução.

Passo 2

Primeiro, parametrize a curva geratriz por tin[0,raiz5]:
x(t)=t, y(t)=t^24, z(t)=0
Ao girar em torno do eixo y, introduzimos o ângulo thetain[0,2pi] e obtemos a parametrização de S:
Phi(t,theta)=l(tcostheta,,tfract^24,,tsinthetar)
Nesse parâmetro, o integrando fica
x^2+z^2y =t^2cos^2theta+t^2sin^2thetatfract^24 =4,
ou seja, é constante.

Passo 3

Como integral duplaS4,dS=4cdotÁrea(S)Á, só falta achar a área de S. Para uma superfície de revolução em torno de y, a fórmula é
Área(S)=2piintegral0^raiz5x(t),raiz[x'(t)]^2+[y'(t)]^2,dt Á
Aqui x'(t)=1 e y'(t)=t/2, logo
ds=raiz1+t^24,dt
e
Área(S)=2piintegral0^raiz5traiz1+t^24,dt Á

Passo 4

Para calcular essa integral, use a troca de variável u=1+tfract^24, de modo que du=tfract2,dt e t,dt=2,du. Quando t=0, u=1; quando t=raiz5, u=1+5/4=9/4. Então:
Área(S) =2piintegralu=1^9/42raizu,du =4piintegral1^9/4u^1/2,du =4pigl[tfrac23u^3/2gr]1^9/4 =8pi3l(l(tfrac94r)^3/2-1r) Á
Como (9/4)^3/2=(3/2)^3=27/8, obtemos
Área(S)=8pi3l(tfrac278-1r)=8pi3cdot198=19pi3 Á

Passo 5

Finalmente,
integral duplaSx^2+z^2y,dS =4times19pi3 =76pi3

Resposta

76pi3

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