Seja
a curva de equação
no plano
, com
. Chame de
a superfície gerada pela revolução de
ao redor do eixo
.
(d)
pontos) Calcule
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
é obtida ao girar a parábola
(com
) em torno do eixo
. O conteúdo aqui é integral de superfície de um campo escalar em superfície de revolução, e vamos usar parametrização e a fórmula clássica de área de superfície gerada por revolução.
Passo 2
Primeiro, parametrize a curva geratriz por
:
Ao girar em torno do eixo
, introduzimos o ângulo
e obtemos a parametrização de
:
Nesse parâmetro, o integrando fica
ou seja, é constante.
Passo 3
Como
, só falta achar a área de
. Para uma superfície de revolução em torno de
, a fórmula é
Aqui
e
, logo
e
Passo 4
Para calcular essa integral, use a troca de variável
, de modo que
e
. Quando
,
; quando
,
. Então:
Como
, obtemos
Passo 5
Finalmente,