Uma corda tem densidade linear
e está sob tensão
. Calcule a velocidade de propagação da onda.
Passo 1
O enunciado dá duas informações e pede uma coisa. Vamos listar claramente:
- Dado: a densidade linear da corda é
. - Dado: a tensão na corda é
. - Pedido: calcular a velocidade de propagação da onda na corda (ou seja, o valor numérico de
com unidade).
É isso: temos dois números and queremos a velocidade da onda.
Passo 2
Qual fórmula usamos? Há uma relação bem conhecida (e que vamos justificar em seguida) entre a tensão na corda, a densidade linear e a velocidade da onda transversal:
Aqui:
-
é a velocidade da onda (unidade: ), -
é a tensão na corda (unidade: ), -
é a densidade linear de massa (unidade: ).
Agora eu explico rapidamente por que essa fórmula faz sentido (passo-a-passo físico simples, nada abstrato):
-
Imagine um pedacinho muito pequeno da corda, de comprimento
. A massa desse pedacinho é . -
Quando uma onda passa, esse pedacinho sofre aceleração vertical. Pelas leis de Newton, a força resultante vertical sobre esse trecho é igual à massa vezes a aceleração vertical.
-
As forças verticais vêm das componentes verticais das tensões nas duas extremidades do trecho. Para ângulos pequenos (uma hipótese válida para pequenas oscilações de ondas), a componente vertical da tensão é aproximadamente
vezes a derivada da deflexão, e a diferença entre extremidades leva a um termo proporcional à segunda derivada espacial da deflexão vezes . -
Ao escrever essa igualdade (força resultante = massa × aceleração) e simplificar por
e pelos termos, chega-se à equação da onda unidimensional:
- A equação da onda padrão tem a forma
. Comparando, vemos que
Ou seja: quanto maior a tensão, mais rápida a onda; quanto mais massa por metro, mais lenta a onda — e a dependência é por raiz quadrada.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula com os números do enunciado.
Primeiro calculemos o quociente
:
Fazer a divisão: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
(porque
), então
Passo 4
Tomamos a raiz quadrada:
Podemos simplificar:
, então
Usando aproximação numérica
, obtemos
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
Passo 5
Verificação de unidades (para ficar tranquilo): dentro da raiz tínhamos
com unidades
e a raiz de
é
, que é a unidade correta para velocidade. Tudo consistente.