Uma corda tem densidade linear \mu=0,02 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} e está sob tensão \mathrm{T}=80 \mathrm{~N}. Calcule a velocidade de propagação da onda.

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede uma coisa. Vamos listar claramente:
  • Dado: a densidade linear da corda é \mu = 0,02\\ \mathrm{kg/m}.
  • Dado: a tensão na corda é T = 80\\ \mathrm{N}.
  • Pedido: calcular a velocidade de propagação da onda na corda (ou seja, o valor numérico de v com unidade).
É isso: temos dois números and queremos a velocidade da onda.

Passo 2

Qual fórmula usamos? Há uma relação bem conhecida (e que vamos justificar em seguida) entre a tensão na corda, a densidade linear e a velocidade da onda transversal:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Aqui:
  • v é a velocidade da onda (unidade: \mathrm{m/s}),
  • T é a tensão na corda (unidade: \mathrm{N} = \mathrm{kg\cdot m/s^2}),
  • \mu é a densidade linear de massa (unidade: \mathrm{kg/m}).
Agora eu explico rapidamente por que essa fórmula faz sentido (passo-a-passo físico simples, nada abstrato):
  1. Imagine um pedacinho muito pequeno da corda, de comprimento \Delta x. A massa desse pedacinho é \mu\,\Delta x.
  2. Quando uma onda passa, esse pedacinho sofre aceleração vertical. Pelas leis de Newton, a força resultante vertical sobre esse trecho é igual à massa vezes a aceleração vertical.
  3. As forças verticais vêm das componentes verticais das tensões nas duas extremidades do trecho. Para ângulos pequenos (uma hipótese válida para pequenas oscilações de ondas), a componente vertical da tensão é aproximadamente T vezes a derivada da deflexão, e a diferença entre extremidades leva a um termo proporcional à segunda derivada espacial da deflexão vezes T.
  4. Ao escrever essa igualdade (força resultante = massa × aceleração) e simplificar por \Delta x e pelos termos, chega-se à equação da onda unidimensional:
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{T}{\mu}\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}.
  1. A equação da onda padrão tem a forma \partial^2 y/\partial t^2 = v^2\,\partial^2 y/\partial x^2. Comparando, vemos que
v^2 = \frac{T}{\mu}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Ou seja: quanto maior a tensão, mais rápida a onda; quanto mais massa por metro, mais lenta a onda — e a dependência é por raiz quadrada.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os números do enunciado.
Primeiro calculemos o quociente T/\mu:
\frac{T}{\mu}=\frac{80}{0,02}.
Fazer a divisão: dividir por 0,02 é o mesmo que multiplicar por 50 (porque 1/0,02=50), então
\frac{80}{0,02}=80\cdot 50=4000.

Passo 4

Tomamos a raiz quadrada:
v=\sqrt{4000}.
Podemos simplificar: 4000=4\cdot 1000, então
v=\sqrt{4\cdot 1000}=2\sqrt{1000}.
Usando aproximação numérica \sqrt{1000}\approx 31,6227766, obtemos
v\approx 2\cdot 31,6227766 \approx 63,2455532\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
v\approx 63,25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Verificação de unidades (para ficar tranquilo): dentro da raiz tínhamos T/\mu com unidades
\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg/m}} = \frac{\mathrm{kg\cdot m/s^2}}{\mathrm{kg/m}} = \mathrm{m^2/s^2},
e a raiz de \mathrm{m^2/s^2} é \mathrm{m/s}, que é a unidade correta para velocidade. Tudo consistente.

Resposta

v \approx 63,25\\ \mathrm{m/s}

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