A soma dos ângulos consecutivos de um trapézio é igual a 78^{\circ} e sua diferença é 4^{\circ}. Determine o maior ângulo do trapézio.

Passo 1

Vamos chamar os vértices do trapézio de A,B,C,D em ordem, com AB\parallel CD. Os ângulos em A e B são consecutivos sobre a base AB. Como nos disseram que a soma desses dois ângulos vale 78^\circ e a diferença vale 4^\circ, vamos primeiro determinar \angle A e \angle B. Também usaremos o fato de que cada par de ângulos consecutivos nas laterais (por exemplo, \angle A com \angle D e \angle B com \angle C) são suplementares, ou seja, somam 180^\circ.

Passo 2

Denotemos
x = \angle A, \quad y = \angle B.
Pelo enunciado, temos o sistema
\begin{cases} x + y = 78^\circ,\\\ x - y = 4^\circ. \end{cases}
Somando as duas equações:
2x = 78^\circ + 4^\circ = 82^\circ \quad\Longrightarrow\quad x = 41^\circ.
Substituindo em x+y=78^\circ:
41^\circ + y = 78^\circ \quad\Longrightarrow\quad y = 37^\circ.

Passo 3

Agora aplicamos a suplementaridade nas laterais: \angle A + \angle D = 180^\circ e \angle B + \angle C = 180^\circ.
Logo,
\angle D = 180^\circ - x = 180^\circ - 41^\circ = 139^\circ,
\angle C = 180^\circ - y = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ.

Passo 4

Os quatro ângulos do trapézio são \,41^\circ,\,37^\circ,\,143^\circ,\,139^\circ.
O maior dentre eles é
\boxed{143^\circ}.

Resposta

143^\circ

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