Dizemos que uma reta
é uma assíntota do gráfico de uma função
quando
Quando
, temos a assíntota horizontal
. Quando
temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta
é uma assíntota oblíqua de
, uma vez que
Passo 1
O enunciado dá a função
e afirma que a reta
é uma assíntota oblíqua. O que precisamos mostrar é que
ou/ e
Informações relevantes fornecidas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Grau do numerador é
; grau do denominador é .
Passo 2
Ideia geral e ferramentas (mini-aula): para funções racionais como
com polinômios
, uma maneira prática de encontrar assíntotas oblíquas é fazer a divisão polinomial de
por
. A divisão produz
onde
é o quociente (polinômio) e
é o resto com grau menor que o de
. Então
Se
for linear,
, e se
quando
, então
é assíntota oblíqua. Explicação intuitiva: o termo
é um resto que tende a zero porque o denominador cresce mais (ou no mínimo na mesma ordem) que o numerador do resto, deixando apenas a reta
como comportamento dominante para
grande em módulo.
Fórmulas úteis que às vezes são usadas:
quando esses limites existem. Mas para racionais é quase sempre mais direto fazer a divisão polinomial.
Passo 3
Aplicando a divisão polinomial de
por
, passo a passo:
- Dividir o termo líder:
. Primeiro termo do quociente é . - Multiplicar:
. - Subtrair do numerador:
. - Dividir o novo termo líder:
. Próximo termo do quociente é . - Multiplicar:
. - Subtrair:
. Esse é o resto, constante, com grau menor que .
Portanto o quociente é
e o resto é
. Logo
Passo 4
Agora avaliaremos a diferença entre
e a reta proposta:
Calcular os limites laterais:
- Para
: o denominador , então
- Para
: o denominador em módulo cresce, então
Em ambas as direções a diferença tende a zero, exatamente a condição de assíntota.
Passo 5
Interpretação e conclusão didática: a divisão mostrou que
é a reta
mais o termo residual
. Como esse termo residual tende a
quando
, a reta
descreve o comportamento assintótico da função para grandes valores de
. Assim
é de fato uma assíntota oblíqua de
. Observação útil para prova: quando o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o do denominador, a divisão polinomial sempre dá quociente linear e essa é a assíntota oblíqua.