Dizemos que uma reta y=m x+b é uma assíntota do gráfico de uma função f quando
\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(m x+b)]=0 \quad \text { ou } \quad \lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-(m x+b)]=0
Quando m=0, temos a assíntota horizontal y=b. Quando m \neq 0 temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta y=x-4 é uma assíntota oblíqua de f(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}, uma vez que
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{x^{2}-3 x+2}{x+1}-(x-4)\right] & =\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{\left(x^{2}-3 x+2\right)-\left(x^{2}-3 x-4\right)}{x+1}\right] \\\ & =\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{6}{x+1}\right]=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}
e afirma que a reta y=x-4 é uma assíntota oblíqua. O que precisamos mostrar é que
\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(x-4)\bigr]=0
ou/ e
\lim_{x\to-\infty}\bigl[f(x)-(x-4)\bigr]=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: x^{2}-3x+2.
  • Denominador: x+1.
  • Grau do numerador é 2; grau do denominador é 1.

Passo 2

Ideia geral e ferramentas (mini-aula): para funções racionais como f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)} com polinômios P,Q, uma maneira prática de encontrar assíntotas oblíquas é fazer a divisão polinomial de P(x) por Q(x). A divisão produz
P(x)=Q(x)\cdot S(x)+R(x),
onde S(x) é o quociente (polinômio) e R(x) é o resto com grau menor que o de Q(x). Então
\frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}.
Se S(x) for linear, S(x)=m x+b, e se \dfrac{R(x)}{Q(x)}\to0 quando x\to\pm\infty, então y=mx+b é assíntota oblíqua. Explicação intuitiva: o termo \dfrac{R(x)}{Q(x)} é um resto que tende a zero porque o denominador cresce mais (ou no mínimo na mesma ordem) que o numerador do resto, deixando apenas a reta mx+b como comportamento dominante para x grande em módulo.
Fórmulas úteis que às vezes são usadas:
m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-m x\bigr],
quando esses limites existem. Mas para racionais é quase sempre mais direto fazer a divisão polinomial.

Passo 3

Aplicando a divisão polinomial de x^{2}-3x+2 por x+1, passo a passo:
  • Dividir o termo líder: \dfrac{x^{2}}{x}=x. Primeiro termo do quociente é x.
  • Multiplicar: (x+1)\cdot x = x^{2}+x.
  • Subtrair do numerador: (x^{2}-3x+2)-(x^{2}+x) = -4x+2.
  • Dividir o novo termo líder: \dfrac{-4x}{x}=-4. Próximo termo do quociente é -4.
  • Multiplicar: (x+1)\cdot(-4) = -4x-4.
  • Subtrair: (-4x+2)-(-4x-4)=6. Esse é o resto, constante, com grau menor que 1.
Portanto o quociente é x-4 e o resto é 6. Logo
f(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=x-4+\frac{6}{x+1}.

Passo 4

Agora avaliaremos a diferença entre f(x) e a reta proposta:
f(x)-(x-4)=\frac{6}{x+1}.
Calcular os limites laterais:
  • Para x\to+\infty: o denominador x+1\to+\infty, então
\lim_{x\to+\infty}\frac{6}{x+1}=0.
  • Para x\to-\infty: o denominador x+1\to-\infty em módulo cresce, então
\lim_{x\to-\infty}\frac{6}{x+1}=0.
Em ambas as direções a diferença tende a zero, exatamente a condição de assíntota.

Passo 5

Interpretação e conclusão didática: a divisão mostrou que f(x) é a reta x-4 mais o termo residual \dfrac{6}{x+1}. Como esse termo residual tende a 0 quando x\to\pm\infty, a reta y=x-4 descreve o comportamento assintótico da função para grandes valores de |x|. Assim y=x-4 é de fato uma assíntota oblíqua de f. Observação útil para prova: quando o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o do denominador, a divisão polinomial sempre dá quociente linear e essa é a assíntota oblíqua.

Resposta

y=x-4

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