Considere os vetores \vec{a}=\langle 6,4, c\rangle e \vec{b}=\langle-24,-16,-28\rangle
Parte 1) Determine o valor de c para que os vetores \vec{a} e \vec{b} sejam paralelos.
Insira aqui o valor de c \square para paralelismo entre os vetores.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=\langle 6,4,c\rangle e \vec{b}=\langle -24,-16,-28\rangle e pede o valor de c para que \vec{a} e \vec{b} sejam paralelos.
Informações relevantes: os componentes conhecidos são 6, 4 (de \vec{a}) e -24, -16, -28 (de \vec{b}); a incógnita é c.
Pergunta explícita: determinar o valor de c que garante paralelismo entre os vetores.

Passo 2

Conceito usado (explicado passo a passo): dois vetores em \mathbb{R}^3 são paralelos se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um escalar k tal que
\vec{a} = k\,\vec{b}.
Aqui k é um número real (o “fator de escala”) e a igualdade significa igualdade componente a componente. Aplicando essa ideia às componentes temos as três equações
6 = k(-24),\qquad 4 = k(-16),\qquad c = k(-28).
Vou explicar cada uma: por exemplo, a primeira equação vem de igualar a primeira componente de \vec{a} ( 6) com k vezes a primeira componente de \vec{b} ( -24). O mesmo vale para a segunda e terceira componentes.

Passo 3

Calcular k usando as primeiras duas equações (elas servem para confirmar consistência):
6 = k(-24)\quad\Rightarrow\quad k = \frac{6}{-24} = -\frac{1}{4}.
Verifico com a segunda componente:
k(-16) = -\frac{1}{4}\cdot(-16)=\frac{16}{4}=4,
que coincide com a segunda componente de \vec{a}. Ou seja, k=-\tfrac{1}{4} é consistente com as duas primeiras componentes.

Passo 4

Encontrar c usando a terceira equação e o valor de k:
c = k(-28) = -\frac{1}{4}\cdot(-28)=\frac{28}{4}=7.
Mostro a conta detalhada: -\tfrac{1}{4}\times -28 = (+)\tfrac{28}{4} e \tfrac{28}{4}=7.

Passo 5

Verificação final: com c=7 e k=-\tfrac{1}{4} temos
k\,\vec{b} = -\tfrac{1}{4}\langle -24,-16,-28\rangle = \langle 6,4,7\rangle=\vec{a},
logo os vetores são realmente múltiplos e, portanto, paralelos. Bom trabalho — você chegou lá!

Resposta

7

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