1. (a) Qual é a soma, usando a notação dos vetores unitários, dos dois vetores \overrightarrow{\mathbf{a}}=5 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}} e \overrightarrow{\mathbf{b}}=-3 \hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}} ? (b) Qual é a intensidade e a direção de \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} ?

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores (peguei estes vetores do enunciado):
  • \overrightarrow{\mathbf{a}} = 5\hat{\mathbf{i}} + 3\hat{\mathbf{j}}
  • \overrightarrow{\mathbf{b}} = -3\hat{\mathbf{i}} + 2\hat{\mathbf{j}}
O que o exercício pede:
(a) a soma dos dois vetores usando a notação dos vetores unitários;
(b) a intensidade (módulo) e a direção de \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}.

Passo 2

Entender como somar vetores em componentes (aula rápida e prática).
  • Um vetor no plano pode ser escrito por suas componentes horizontais e verticais: se \overrightarrow{\mathbf{v}} = v_x\hat{\mathbf{i}} + v_y\hat{\mathbf{j}}, então v_x é a componente na direção x e v_y na direção y.
  • A soma de dois vetores é feita componente a componente: se \overrightarrow{\mathbf{u}} = (u_x,u_y) e \overrightarrow{\mathbf{v}} = (v_x,v_y), então \overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}} = (u_x+v_x,\;u_y+v_y).
    Aplicando isso aos vetores que temos:
  • componente x: 5 + (-3) = 2,
  • componente y: 3 + 2 = 5.

Passo 3

Escrever a soma na notação de vetores unitários (resultado direto da soma de componentes):
\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}} = 2\hat{\mathbf{i}} + 5\hat{\mathbf{j}}.
Isto é exatamente o vetor cujas componentes são (2,5).

Passo 4

Calcular a intensidade (módulo) do vetor resultante (fórmula e aplicação).
  • Fórmula: se \overrightarrow{\mathbf{v}} = v_x\hat{\mathbf{i}} + v_y\hat{\mathbf{j}}, então a intensidade é
\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\| = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}}.
  • Aqui v_x = 2 e v_y = 5. Substituindo,
\|\overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}\| = \sqrt{2^{2} + 5^{2}} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}.
Se quiser uma aproximação prática (útil na prova se for permitido calculadora ou para comparar): \sqrt{29}\approx 5,39.

Passo 5

Calcular a direção do vetor resultante (fórmula, cuidado com quadrante e aplicação).
  • Fórmula: a direção em relação ao eixo positivo x (ângulo \theta) é dada por
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{v_y}{v_x}\right),
quando se sabe em que quadrante o vetor está (ou seja, é preciso olhar os sinais de v_x e v_y).
  • Aqui v_x=2>0 e v_y=5>0, então o vetor está no 1.º quadrante e a fórmula direta vale sem ajustes.
  • Aplicando:
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{5}{2}\right).
Valor aproximado em graus (útil para interpretação): \theta \approx 68,2^\circ.

Passo 6

Resumo final (para fixar o raciocínio): somar componentes horizontal com horizontal e vertical com vertical; para o módulo usar a raiz quadrada da soma dos quadrados; para a direção usar arctan do quociente das componentes (lembrar do quadrante).

Resposta

(a) \overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}} = 2\hat{\mathbf{i}} + 5\hat{\mathbf{j}}
(b) intensidade \sqrt{29} (aprox. 5,39); direção \theta = \arctan\!\left(\dfrac{5}{2}\right) \approx 68,2^\circ

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