Um procedimento comum para medir a velocidade de corrente de ar envolve a inserção de um fio aquecido eletricamente (chamado de anemômetro de fio quente) no escoamento do ar, com o eixo do fio orientado perpendicularmente à direção do escoamento. Considera-se que a energia elétrica dissipada no fio seja transferida para o ar por convecção forçada. Consequentemente, para uma potência elétrica especificada, a temperatura do fio depende do coeficiente de convecção, o qual, por sua vez, depende da velocidade do ar. Considere um fio com comprimento \mathrm{L}=20 \mathrm{~mm} e diâmetro \mathrm{D}=0,5 \mathrm{~mm}, para o qual foi determinada uma calibração na forma \mathrm{V}=6,25 \times 10^{-5} \mathrm{~h}^{2} . \mathrm{A} velocidade V e o coeficiente de convecção h têm unidades de m / s e W / m^{2} K, respectivamente. Em uma aplicação envolvendo ar a uma temperatura \mathrm{T}_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}, a temperatura superficial do anemômetro é mantida a \mathrm{T}_{\mathrm{s}}=75^{\circ} \mathrm{C}, com uma diferença de voltagem de 5 V e uma corrente elétrica de 0,1 \mathrm{~A}. Qual é a velocidade do ar?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda):
  • Calibração: \displaystyle V = 6,25\times10^{-5}\,h^{2}, onde \,V é a velocidade do ar em \mathrm{m/s} e \,h é o coeficiente de convecção em \mathrm{W/(m^{2}\,K)}.
  • Geometria do fio (cilindro): comprimento \displaystyle L=20\\ \mathrm{mm} e diâmetro \displaystyle D=0,5\\ \mathrm{mm}.
  • Condições térmicas: temperatura do ar \displaystyle T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}, temperatura do fio \displaystyle T_{s}=75^\circ\mathrm{C}.
  • Alimentação elétrica: diferença de tensão \displaystyle \Delta V_{\text{el}}=5\\ \mathrm{V} e corrente \displaystyle I=0,1\\ \mathrm{A}.
  • O que pede: encontrar a velocidade do ar \displaystyle V.
Informações úteis que usarei (explicarei cada uma na resolução):
  • Potência elétrica dissipada no fio é \displaystyle P_{\text{el}}=\Delta V_{\text{el}}\cdot I.
  • Em regime estacionário, a potência elétrica é transferida por convecção: \displaystyle P_{\text{el}} = h\,A_{s}\,(T_{s}-T_{\infty}).
  • Área de superfície lateral de um fio cilíndrico: \displaystyle A_{s}=\pi D L.

Passo 2

Explicando a física básica da equação de balanço de energia (a parte conceitual que você precisa saber para a prova), de forma bem simples:
  • O fio é aquecido por corrente elétrica. A taxa de energia elétrica fornecida (potência) é \displaystyle P_{\text{el}}=\Delta V_{\text{el}}\cdot I. Aqui \Delta V_{\text{el}} é a tensão (volts) e I é a corrente (amperes); o produto tem unidades de watts (\mathrm{W}).
  • Em regime estacionário, essa potência sai do fio para o ar por convecção forçada. A taxa de transferência de calor por convecção sobre toda a superfície é dada pela lei de resfriamento de Newton linearizada:
P_{\text{conv}} = h\,A_{s}\,(T_{s}-T_{\infty}),
onde h é o coeficiente de convecção (unidade \mathrm{W/(m^{2}\,K)}), A_{s} é a área de superfície através da qual ocorre a troca (aqui a lateral do cilindro), e T_{s}-T_{\infty} é a diferença de temperatura entre superfície e fluido (em K, numericamente igual a ^\circ\mathrm{C} quando se trata de diferenças).
  • Igualamos as duas taxas para obter h:
\displaystyle h=\frac{P_{\text{el}}}{A_{s}\,(T_{s}-T_{\infty})}.
Depois de obter h usamos a calibração para achar V:
\displaystyle V = 6,25\times10^{-5}\,h^{2}.

Passo 3

Calcular a potência elétrica e a área superficial do fio (passo-a-passo numérico, com conversão de unidades):
  • Potência elétrica:
\displaystyle P_{\text{el}}=\Delta V_{\text{el}}\cdot I = 5\cdot0,1 = 0,5\\ \mathrm{W}.
  • Converter dimensões para metros:
\displaystyle L=20\\ \mathrm{mm}=0,02\\ \mathrm{m},\qquad D=0,5\\ \mathrm{mm}=0,0005\\ \mathrm{m}.
  • Área lateral do cilindro (a área pela qual ocorre a convecção):
\displaystyle A_{s}=\pi D L.
Agora calculamos numericamente:
\displaystyle D\cdot L = 0,0005\cdot0,02 = 1,0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}},
\displaystyle A_{s}=\pi\cdot1,0\times10^{-5} = 3,1416\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular o coeficiente de convecção \,h usando o balanço de energia:
  • Diferença de temperatura:
\displaystyle \Delta T = T_{s}-T_{\infty}=75^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}=50\\ \mathrm{K}.
  • Aplicando a fórmula
\displaystyle h=\frac{P_{\text{el}}}{A_{s}\,\Delta T}:
substituindo os valores,
\displaystyle h=\frac{0,5}{(3,1416\times10^{-5})\cdot50}.
Calcule o denominador:
\displaystyle A_{s}\,\Delta T = 3,1416\times10^{-5}\cdot50 = 1,5708\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}\,K}.
Logo
\displaystyle h=\frac{0,5}{1,5708\times10^{-3}}\approx318,31\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}.
Breve comentário didático: esse número faz sentido para um fio fino com escoamento de ar forçado — coeficientes de convecção no ar costumam ficar de algumas dezenas até algumas centenas \mathrm{W/(m^{2}\,K)} dependendo da velocidade.

Passo 5

Usar a calibração para achar a velocidade \,V:
A calibração é
\displaystyle V = 6,25\times10^{-5}\,h^{2}.
Substituindo \displaystyle h\approx318,31,
\displaystyle h^{2} \approx (318,31)^{2} \approx 1,01318\times10^{5}.
Portanto
\displaystyle V = 6,25\times10^{-5}\cdot1,01318\times10^{5}\approx6,332\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) temos \displaystyle V\approx6,33\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\displaystyle V = 6,33\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados