A aceleração de um veículo de monitoramento ambiental é: a(t)=6 t-4 Sabendo que em t=0 : v_{0}=3 m / s e x_{0}=2 m
Determine:
a) a função velocidade;
b) a função posição;
c) o instante em que o veículo muda de sentido;

Passo 1

O enunciado fornece explicitamente as seguintes informações e pede as questões abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • A aceleração é a(t)=6t-4.
    • Em t=0: v(0)=v_{0}=3\\ \mathrm{m/s}.
    • Em t=0: x(0)=x_{0}=2\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    a) Determinar a função velocidade v(t).
    b) Determinar a função posição x(t).
    c) Determinar o instante em que o veículo muda de sentido (ou justificar que isso não ocorre).

Passo 2

Entendendo a relação entre as grandezas (pequena aula prática):
  • A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; em linguagem matemática isso significa que a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Aqui v(t) é a velocidade em função do tempo e t é o tempo.
  • Para obter v(t) a partir de a(t) precisamos integrar a(t) em relação a t. A integração introduz uma constante arbitrária (constante de integração) que será determinada usando a condição inicial v(0)=3.
  • Regra prática de integração: \displaystyle\int t^n\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C e \displaystyle\int \text{(const)}\,dt=\text{const}\cdot t + C.

Passo 3

Calcular v(t) integrando a(t):
a(t)=6t-4=\frac{dv}{dt}\quad\Longrightarrow\quad v(t)=\int(6t-4)\,dt.
Fazendo a integração termo a termo:
\int 6t\,dt=6\cdot\frac{t^{2}}{2}=3t^{2},\qquad \int (-4)\,dt=-4t.
Então a primitiva geral é
v(t)=3t^{2}-4t+C,
onde C é a constante de integração. Usamos a condição inicial v(0)=3 para encontrar C:
v(0)=3\cdot0^{2}-4\cdot0+C=C=3.
Portanto
v(t)=3t^{2}-4t+3.

Passo 4

Verificação curta (boa prática): derivando v(t) deve retornar a(t).
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}-4t+3\bigr)=6t-4=a(t),
logo está consistente.

Passo 5

Agora vamos obter x(t). A posição satisfaz \dfrac{dx}{dt}=v(t). Logo x(t) é uma primitiva de v(t). Integramos:
v(t)=3t^{2}-4t+3=\frac{dx}{dt}\quad\Longrightarrow\quad x(t)=\int(3t^{2}-4t+3)\,dt.
Integração termo a termo:
\int 3t^{2}\,dt=3\cdot\frac{t^{3}}{3}=t^{3},\qquad \int (-4t)\,dt=-4\cdot\frac{t^{2}}{2}=-2t^{2},\qquad \int 3\,dt=3t.
A primitiva geral é
x(t)=t^{3}-2t^{2}+3t+C',
onde C' é a constante de integração. Aplicando x(0)=2 obtemos C'=2. Portanto
x(t)=t^{3}-2t^{2}+3t+2.

Passo 6

Entendendo quando o veículo muda de sentido (explicação didática):
  • O veículo muda de sentido quando a velocidade passa por zero (troca de sinal). Assim, para achar o instante de mudança de sentido devemos resolver v(t)=0 e olhar para raízes reais com t\ge0.
  • Substituindo a função velocidade que encontramos:
v(t)=3t^{2}-4t+3=0.
Isto é uma equação quadrática. Para estudar suas raízes usamos o discriminante \Delta=b^{2}-4ac, onde para at^{2}+bt+c temos a=3, b=-4, c=3. Calculamos:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 3\cdot 3 = 16-36 = -20.
Como \Delta<0, a equação quadrática não tem raízes reais, logo não há tempo real t que torne v(t)=0.

Passo 7

Interpretação física e confirmação alternativa (mais intuição, sem calcular novas raízes):
  • Uma parábola com coeficiente quadrático positivo ( a=3>0) e discriminante negativo está sempre acima de zero para todo t\in\mathbb{R}. Em particular, para t\ge0 temos v(t)>0.
  • Podemos também calcular o valor mínimo de v(t) (vértice da parábola) para confirmar que é positivo. O tempo do vértice é
t_{\text{min}}=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2\cdot 3}=\frac{2}{3}.
Avaliaremos v nesse ponto:
v\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=3\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}-4\left(\tfrac{2}{3}\right)+3 =3\cdot\frac{4}{9}-\frac{8}{3}+3 =\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+3 =-\frac{4}{3}+3=\frac{5}{3}>0.
Como o mínimo de v é \dfrac{5}{3}\\ \mathrm{m/s} (positivo), a velocidade nunca zera nem fica negativa. Logo o veículo nunca muda de sentido.

Resposta

a) v(t)=3t^{2}-4t+3
b) x(t)=t^{3}-2t^{2}+3t+2
c) Não existe instante t\ge0 em que o veículo mude de sentido; a velocidade é sempre positiva (não há raiz real de v(t)).

Exercícios relacionados