A aceleração de um veículo de monitoramento ambiental é:
Sabendo que em
:
e
Determine:
a) a função velocidade;
b) a função posição;
c) o instante em que o veículo muda de sentido;
a) a função velocidade;
b) a função posição;
c) o instante em que o veículo muda de sentido;
Passo 1
O enunciado fornece explicitamente as seguintes informações e pede as questões abaixo:
-
Dados fornecidos:
- A aceleração é
. - Em
: . - Em
: .
- A aceleração é
-
Perguntas:
a) Determinar a função velocidade.
b) Determinar a função posição.
c) Determinar o instante em que o veículo muda de sentido (ou justificar que isso não ocorre).
Passo 2
Entendendo a relação entre as grandezas (pequena aula prática):
- A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; em linguagem matemática isso significa que
. Aqui é a velocidade em função do tempo e é o tempo. - Para obter
a partir de precisamos integrar em relação a . A integração introduz uma constante arbitrária (constante de integração) que será determinada usando a condição inicial . - Regra prática de integração:
e .
Passo 3
Calcular
integrando
:
Fazendo a integração termo a termo:
Então a primitiva geral é
onde
é a constante de integração. Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Portanto
Passo 4
Verificação curta (boa prática): derivando
deve retornar
.
logo está consistente.
Passo 5
Agora vamos obter
. A posição satisfaz
. Logo
é uma primitiva de
. Integramos:
Integração termo a termo:
A primitiva geral é
onde
é a constante de integração. Aplicando
obtemos
. Portanto
Passo 6
Entendendo quando o veículo muda de sentido (explicação didática):
- O veículo muda de sentido quando a velocidade passa por zero (troca de sinal). Assim, para achar o instante de mudança de sentido devemos resolver
e olhar para raízes reais com . - Substituindo a função velocidade que encontramos:
Isto é uma equação quadrática. Para estudar suas raízes usamos o discriminante
, onde para
temos
,
,
. Calculamos:
Como
, a equação quadrática não tem raízes reais, logo não há tempo real
que torne
.
Passo 7
Interpretação física e confirmação alternativa (mais intuição, sem calcular novas raízes):
- Uma parábola com coeficiente quadrático positivo (
) e discriminante negativo está sempre acima de zero para todo . Em particular, para temos . - Podemos também calcular o valor mínimo de
(vértice da parábola) para confirmar que é positivo. O tempo do vértice é
Avaliaremos
nesse ponto:
Como o mínimo de
é
(positivo), a velocidade nunca zera nem fica negativa. Logo o veículo nunca muda de sentido.
Resposta
a)
b)
c) Não existe instante em que o veículo mude de sentido; a velocidade é sempre positiva (não há raiz real de
).
b)
c) Não existe instante