1. Já é um sonho para a humanidade visitar outros planetas. Imagine que em uma das possíveis missões à Marte, um astronauta enche um balão na superfície da Terra onde a pressão é 1,0 \mathrm{~atm} com um volume de 3,00 \mathrm{~L} a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. E que ele leve esse balão consigo a uma viagem a superfície de Marte com pressão de 700 Pa e se depara com uma temperatura de -123^{\circ} \mathrm{C}.
    (a) Qual o volume que o balão terá na superfície de Marte, supondo que ele não se rompa?
    (b) Qual o número de moléculas de gás no balão?

Passo 1

O enunciado dá um balão com gás inflado na Terra e levado à superfície de Marte. As perguntas são:
  • (a) Qual o volume do balão na superfície de Marte, supondo que ele não se rompa?
  • (b) Qual o número de moléculas de gás no balão?
Informações fornecidas (vou listar todas explicitamente):
  • Pressão inicial na Terra: P_1 = 1,0\\ \mathrm{atm}.
  • Volume inicial na Terra: V_1 = 3{,}00\\ \mathrm{L}.
  • Temperatura inicial na Terra: T_1 = 30^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão na superfície de Marte: P_2 = 700\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura na superfície de Marte: T_2 = -123^\circ\mathrm{C}.
Também vou usar constantes conhecidas:
  • Conversão de pressão: 1{,}0\\ \mathrm{atm} = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Constante dos gases ideais: R = 8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Número de Avogadro: N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Primeiro converto todas as grandezas para unidades SI (para usar a lei dos gases ideais sem confusão):
  • Volume inicial: V_1 = 3{,}00\\ \mathrm{L} = 3{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} (porque 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}).
  • Pressão inicial: P_1 = 1{,}0\\ \mathrm{atm} = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperaturas em Kelvin: T_1 = 30^\circ\mathrm{C} = 30 + 273{,}15 = 303{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = -123^\circ\mathrm{C} = -123 + 273{,}15 = 150{,}15\\ \mathrm{K}.
Explicação curta sobre por que Kelvin: nas leis dos gases a temperatura deve estar em escala absoluta ( \mathrm{K}) porque a relação entre pressão, volume e temperatura é proporcional à temperatura absoluta.

Passo 3

Vou usar a lei dos gases ideais. A forma básica é
PV = nRT,
onde
  • P é a pressão (em \mathrm{Pa} no SI),
  • V é o volume (em \mathrm{m^{3}}),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ideais ( 8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
  • T é a temperatura em Kelvin ( \mathrm{K}).
Como o número de mols n do gás não muda durante a viagem (supondo que o balão não vaze e não haja reação química), posso usar a forma combinada da lei dos gases para duas condições:
\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}.
Dessa relação isolo V_2:
V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1}.

Passo 4

Agora eu calculo V_2 substituindo os valores (tudo em SI):
  • P_1 = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
  • V_1 = 3{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},
  • T_2 = 150{,}15\\ \mathrm{K},
  • P_2 = 700\\ \mathrm{Pa},
  • T_1 = 303{,}15\\ \mathrm{K}.
Faço o numerador e denominador separadamente:
P_1 V_1 = (1{,}013\times10^{5})(3{,}00\times10^{-3}) = 303{,}9\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}.
P_1 V_1 T_2 = 303{,}9 \times 150{,}15 = 45\,630{,}585\\ (\text{unidade: }\mathrm{Pa\cdot m^{3}\cdot K}).
P_2 T_1 = 700 \times 303{,}15 = 212\,205\\ (\text{unidade: }\mathrm{Pa\cdot K}).
Logo
V_2 = \frac{45\,630{,}585}{212\,205} \approx 0{,}21503\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Converto V_2 para litros para ficar mais intuitivo:
V_2 = 0{,}21503\\ \mathrm{m^{3}} = 0{,}21503\times10^{3}\\ \mathrm{L} = 215{,}03\\ \mathrm{L}.
Interpretação rápida: o volume aumentou muito porque a pressão em Marte ( 700\\ \mathrm{Pa}) é extremamente baixa comparada à pressão na Terra ( \sim 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}); mesmo com a temperatura menor, a queda de pressão domina e o balão se expande bastante.

Passo 6

Agora calculo o número de mols n do gás no balão. Uso a forma da lei dos gases no estado inicial (ou final, dá igual):
n = \frac{P_1 V_1}{R T_1}.
Expliquei antes o que significa cada símbolo; aqui uso a condição inicial porque os dados iniciais são simples.
Substituindo:
P_1 V_1 = 303{,}9\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}},
R T_1 = 8{,}314 \times 303{,}15 = 2\,520{,}5601\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Portanto
n = \frac{303{,}9}{2\,520{,}5601} \approx 0{,}12057\\ \mathrm{mol}.

Passo 7

Finalmente, converto o número de mols para número de moléculas usando o número de Avogadro:
N = n \, N_A.
Com n \approx 0{,}12057\\ \mathrm{mol} e N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},
N \approx 0{,}12057 \times 6{,}022\times10^{23} \approx 7{,}26\times10^{22}\\ \text{moléculas}.é

Resposta

(a) V_2 \approx 0{,}215\\ \mathrm{m^{3}} = 215\\ \mathrm{L}
(b) N \approx 7{,}26\times10^{22}\\ \text{moléculas}é

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