1. Em um experimento de controle de qualidade, um pequeno frasco de vidro foi completamente preenchido com 56 \mathrm{~cm}^{3} de uma amostra de óleo experimental a 22^{\circ} \mathrm{C}. O frasco foi então colocado próximo a uma estufa para testes térmicos, e sua temperatura interna subiu até 70^{\circ} \mathrm{C}. Após o aquecimento, verificou-se que 2,4 \mathrm{~cm}^{3} do líquido haviam extravassado pela boca do frasco. O vidro do recipiente apresenta coeficiente de dilatação linear 8,5 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. Assumindo que o frasco estava totalmente cheio inicialmente, não houve evaporação, determine o coeficiente de dilatação volumétrico do líquido.

Passo 1

O enunciado dá essas informações e pede o que segue:
  • Volume inicial do líquido (e do frasco, porque estava totalmente cheio): V_0 = 56\\ \mathrm{cm}^3.
  • Temperatura inicial: 22^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: 70^\circ\mathrm{C}.
  • Volume que extravasou após o aquecimento: V_{\text{extr}} = 2{,}4\\ \mathrm{cm}^3.
  • Coeficiente de dilatação linear do vidro: \alpha_{\text{vidro}} = 8{,}5\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Suposições: frasco totalmente cheio inicialmente e não houve evaporação.
Pergunta: determinar o coeficiente de dilatação volumétrico do líquido \beta_{\text{líq}}í (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessárias (explicadas de modo prático):
  • Coeficiente de dilatação volumétrico \beta descreve a variação relativa do volume com a temperatura. Para um corpo que tem volume inicial V_0 e sofre aquecimento \Delta T, o volume aproximado depois é
V \approx V_0\,(1+\beta\,\Delta T).
Aqui \beta é a razão do aumento relativo de volume por grau, V_0 é o volume inicial e \Delta T é a variação de temperatura. Essa fórmula usa a aproximação linear válida para pequenas variações de temperatura (que é o caso típico em problemas de dilatação).
  • Para sólidos isotrópicos (como o vidro), o coeficiente volumétrico é aproximadamente três vezes o coeficiente linear:
\beta_{\text{vidro}} \approx 3\,\alpha_{\text{vidro}}.
Explicação rápida: a dilatação linear atua em cada direção espacial; volumetricamente a soma aproximada das três direções dá 3\alpha para pequenas variações.

Passo 3

Calcular \Delta T e o coeficiente volumétrico do vidro:
  • Variação de temperatura:
\Delta T = 70^\circ\mathrm{C} - 22^\circ\mathrm{C} = 48^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente volumétrico do vidro:
\beta_{\text{vidro}} = 3\,\alpha_{\text{vidro}} = 3\cdot 8{,}5\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} = 25{,}5\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Em notação mais usual:
\beta_{\text{vidro}} = 2{,}55\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 4

Montar a equação que relaciona volumes e o volume extravasado:
  • Volume do líquido após aquecer:
V_{\text{líq,final}} = V_0\,(1+\beta_{\text{líq}}\,\Delta T).íí
  • Volume interno do frasco após aquecer:
V_{\text{frasco,final}} = V_0\,(1+\beta_{\text{vidro}}\,\Delta T).
  • Como inicialmente o frasco estava cheio, o volume que extravasou é a diferença entre esses dois volumes:
V_{\text{extr}} = V_{\text{líq,final}} - V_{\text{frasco,final}} = V_0\big[(1+\beta_{\text{líq}}\,\Delta T) - (1+\beta_{\text{vidro}}\,\Delta T)\big].íí
Simplificando:
V_{\text{extr}} = V_0(\beta_{\text{líq}} - \beta_{\text{vidro}})\,\Delta T.í

Passo 5

Isolar \beta_{\text{líq}}í e substituir os valores:
  • Isolando:
\beta_{\text{líq}} = \beta_{\text{vidro}} + \frac{V_{\text{extr}}}{V_0\,\Delta T}.í
  • Substituindo números (atenção para usar vírgula decimal conforme convênio):
\beta_{\text{líq}} = 2{,}55\times10^{-5} + \frac{2{,}4}{56\cdot 48}.í

Passo 6

Calcular a fração numérica e obter o valor final:
  • Calcular a fração:
\frac{2{,}4}{56\cdot 48} = \frac{2{,}4}{2688} = 8{,}92857\times10^{-4}.
  • Somando com \beta_{\text{vidro}}:
\beta_{\text{líq}} = 2{,}55\times10^{-5} + 8{,}92857\times10^{-4} = 9{,}18357\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.í
  • Arredondando de forma razoável (dados têm cerca de 2–3 algarismos significativos), podemos dar:
\beta_{\text{líq}} \approx 9{,}18\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.í

Resposta

\beta_{\text{líq}} \approx 9{,}18\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}í

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