1. Um frasco de vidro foi deixado completamente cheio com óleo vegetal. O volume inicial do líquido é 95 \mathrm{~cm}^{3} a 20^{\circ} \mathrm{C}. Em um laboratório sem climatização, a temperatura elevou-se para 75^{\circ} \mathrm{C}. Adimita para o óleo o coeficiente de dilatação volumétrico 7,0 \times 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e para o vidro 9,0 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. Calcule o volume que extravasa do recipiente.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o volume de óleo que extravasa do frasco quando a temperatura sobe de 20^\circ\mathrm{C} para 75^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas:
V_0 = 95\\ \mathrm{cm}^3
T_{\text{inicial}} = 20^\circ\mathrm{C},\qquad T_{\text{final}} = 75^\circ\mathrm{C}
\text{coeficiente volumétrico do óleo:}\\ \beta_{\text{óleo}} = 7{,}0\times 10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}éóó
\text{coeficiente do vidro:}\\ \alpha_{\text{vidro}} = 9{,}0\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}
Observação importante (usada depois): para o vidro foi fornecido um coeficiente linear \alpha_{\text{vidro}}; para estimar a variação do volume interno do frasco vamos converter esse \alpha em um coeficiente volumétrico aproximado \beta_{\text{vidro}}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que usaremos (mini-aula):
  • Para um líquido, a variação de volume para pequena variação de temperatura é dada por
\Delta V = \beta\,V_0\,\Delta T,
onde \Delta V é a variação de volume, \beta é o coeficiente de dilatação volumétrico, V_0 é o volume inicial e \Delta T é a variação de temperatura. Aqui cada símbolo significa:
  • \Delta V: quanto o volume muda (positivo = aumenta),
  • \beta: quanto o volume muda por grau (unidade ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}),
  • V_0: volume inicial (aqui em \mathrm{cm}^3),
  • \Delta T: T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} (em ^{\circ}\mathrm{C}).
  • Para um sólido isotrópico (como o vidro do frasco) costuma-se relacionar o coeficiente volumétrico \beta com o coeficiente linear \alpha por
\beta \approx 3\alpha,
porque se cada comprimento cresce por um fator (1+\alpha\Delta T), o volume cresce por (1+\alpha\Delta T)^3 \approx 1+3\alpha\Delta T quando \alpha\Delta T é pequeno. Portanto usaremos \beta_{\text{vidro}} \approx 3\alpha_{\text{vidro}}.
  • Se o óleo estava exatamente preenchendo o frasco inicialmente, o volume que extravasa é a diferença entre a expansão do óleo e a expansão do volume interno do frasco:
V_{\text{extravasado}} = \Delta V_{\text{óleo}} - \Delta V_{\text{vidro}},ó
desde que essa diferença seja positiva (caso contrário não extravasaria).

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = 75^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 55^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular a expansão do óleo com a fórmula \Delta V_{\text{óleo}}=\beta_{\text{óleo}}V_0\Delta Tóó. Substituindo os valores:
\Delta V_{\text{óleo}} = \left(7{,}0\times 10^{-4}\right)\times 95\times 55.ó
Fazendo as multiplicações por etapas:
95\times 55 = 5225,
5225\times 7{,}0\times 10^{-4} = 5225\times 0{,}0007 = \frac{5225\times 7}{10000} = \frac{36575}{10000} = 3{,}6575\\ \mathrm{cm}^3.
Portanto
\Delta V_{\text{óleo}} = 3{,}6575\\ \mathrm{cm}^3.ó

Passo 5

Converter o coeficiente linear do vidro em coeficiente volumétrico e calcular a expansão do volume interno do frasco.
Primeiro a conversão:
\beta_{\text{vidro}} \approx 3\alpha_{\text{vidro}} = 3\times 9{,}0\times 10^{-6} = 2{,}7\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Agora a variação de volume do frasco:
\Delta V_{\text{vidro}} = \beta_{\text{vidro}}\,V_0\,\Delta T = \left(2{,}7\times 10^{-5}\right)\times 95\times 55.
Calculando:
95\times 55 = 5225\quad\text{(como antes)},
5225\times 2{,}7\times 10^{-5} = 5225\times 0{,}000027 = \frac{5225\times 27}{1\,000\,000} = \frac{141075}{1\,000\,000} = 0{,}141075\\ \mathrm{cm}^3.
Logo
\Delta V_{\text{vidro}} = 0{,}141075\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Determinar o volume que extravasa: diferença entre a expansão do óleo e a expansão do frasco:
V_{\text{extravasado}} = \Delta V_{\text{óleo}} - \Delta V_{\text{vidro}} = 3{,}6575 - 0{,}141075 = 3{,}516425\\ \mathrm{cm}^3.ó
Interpretação: o valor é positivo, então esse é o volume que saiu do frasco para fora quando a temperatura subiu.
Arredondando de forma razoável (os dados têm duas algarismos significativos nos coeficientes), podemos dar a resposta com duas casas significativas: 3{,}5\\ \mathrm{cm}^3, ou com três algarismos significativos: 3{,}52\\ \mathrm{cm}^3. Vou apresentar com três algarismos significativos.

Resposta

3{,}52\\ \mathrm{cm}^3

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