Em um sorteio, 1.500 bilhetes são vendidos a $2 cada, para prêmios de $500, $250, $150 e $75. Você compra um bilhete. Qual é o valor esperado do seu ganho, a variância e o desvio padrão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que num sorteio vendem 1500 bilhetes a $2 cada um e existem quatro prêmios: $500, $250, $150 e $75 (presumimos que tem 1 de cada). Você compra um bilhete e a gente quer calcular:
- O valor esperado do seu ganho (ou seja, a média do que você ganha levando em conta as chances).
- A variância (que indica o “espalhamento” dos ganhos).
- O desvio padrão (que é a raiz quadrada da variância, dando a dispersão na mesma unidade do ganho).
Matéria: probabilidades e estatística básica.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Montar a distribuição de probabilidade do seu ganho líquido.
- Usar as fórmulas de
, , e .
Passo 2
Definindo a variável aleatória
:
- Se você ganhar $500, seu ganho líquido é
. - Se ganhar $250, é
. - Se ganhar $150, é
. - Se ganhar $75, é
. - Se não ganhar nada, seu “prêmio” é $0, mas você já pagou $2, então o ganho é
.
Agora as probabilidades (total de 1500 bilhetes, 1 de cada prêmio, 1496 sem prêmio):
Passo 3
Calcular o valor esperado
.
Teoria:
Teoria:
Aplicando:
Somando os prêmios:
.
Passo 4
Calcular
.
Teoria:
Teoria:
Primeiro, os quadrados:
Então
Somando os prêmios ao quadrado:
.
Passo 5
Calcular a variância
.
Teoria básica:
Teoria básica:
Substituindo:
Passo 6
Calcular o desvio padrão
.
Resposta
Valor esperado
, variância
e desvio padrão
.