Em um sorteio, 1.500 bilhetes são vendidos a $2 cada, para prêmios de $500, $250, $150 e $75. Você compra um bilhete. Qual é o valor esperado do seu ganho, a variância e o desvio padrão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que num sorteio vendem 1500 bilhetes a $2 cada um e existem quatro prêmios: $500, $250, $150 e $75 (presumimos que tem 1 de cada). Você compra um bilhete e a gente quer calcular:
  • O valor esperado do seu ganho (ou seja, a média do que você ganha levando em conta as chances).
  • A variância (que indica o “espalhamento” dos ganhos).
  • O desvio padrão (que é a raiz quadrada da variância, dando a dispersão na mesma unidade do ganho).
Matéria: probabilidades e estatística básica.
O que vamos precisar:
  1. Montar a distribuição de probabilidade do seu ganho líquido.
  2. Usar as fórmulas de 2 cada um e existem quatro prêmios: , 250, , e .

Passo 2

Definindo a variável aleatória 500, seu ganho líquido é (500 - 2 = 498) - Se ganhar :
  • Se você ganhar $500, seu ganho líquido é 150, é (150 - 2 = 148) - Se ganhar .
  • Se ganhar $250, é 0, mas você já pagou .
  • Se ganhar $150, é P(X=498)=11500, P(X=248)=11500, P(X=148)=11500, P(X=73)=11500, P(X=-2)=14961500 .
  • Se ganhar $75, é .
  • Se não ganhar nada, seu “prêmio” é $0, mas você já pagou $2, então o ganho é .
Agora as probabilidades (total de 1500 bilhetes, 1 de cada prêmio, 1496 sem prêmio):

Passo 3

Calcular o valor esperado E[X] = sumi xi,P(X=xi) .
Teoria:
E[X] =498cdot11500 +248cdot11500 +148cdot11500 +73cdot11500 +(-2)cdot14961500
Aplicando:
E[X] =9671500+(-2)cdot14961500 =967 - 2cdot14961500 =967-29921500 =-20251500 =-1,35
Somando os prêmios: .

Passo 4

Calcular E[X^2] = sumi xi^2,P(X=xi) .
Teoria:
498^2 = 248004, 248^2 = 61504, 148^2 = 21904, 73^2 = 5329, (-2)^2 = 4
Primeiro, os quadrados:
E[X^2] =248004+61504+21904+53291500 +4cdot14961500
Então
E[X^2] =3367411500 +4cdot14961500 approx224,494 + 3,9893 =228,4833
Somando os prêmios ao quadrado: .

Passo 5

Calcular a variância Var(X) = E[X^2] - l(E[X]r)^2 .
Teoria básica:
Var(X) =228,4833 - (-1,35)^2 =228,4833 - 1,8225 approx226,6608
Substituindo:

Passo 6

Calcular o desvio padrão sigma(X) = raizVar(X) approx raiz226,6608 approx 15,06 .

Resposta

Valor esperado , variância e desvio padrão .

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