Quando soube que você fazia operações unitárias I, o professor Pedro Paulo, diretor do instituto de tecnologia, pediu sua ajuda para instalaçāo de uma caixa dágua que abasteceria o IT. Ele informou que tem interesse em instalar um filtro de areia com características conhecidas para purificar a água. Ele informou também que, para atender a demanda do IT, DTA, DEQ e FAPUR, precisará manter uma vazão de 5,8 m^3 / h à 25^circ C através de uma tubulação de 2^prime prime.
Dados do meio poroso:
Porosidade: 0,52
Esfericidade: 0,75
\
hline Série Tyler |c|c|c| hline Série Ty<=r & $D(mm)$ & c Massa retida $(g)$ \begin{tabular}{c}
Massa retida \
-35+48
\end{tabular}
hline -48+65 0,401 51
hline -65+100 0,341 40
hline 0,201 18
hline \
O diretor pediu que você calculasse qual altura (H) que deveria ser instalada a caixa dágua.

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente descobrir qual “altura de coluna d’água” (H) é necessária na caixa para, por gravidade, manter uma vazão de 5,8 m³/h a 25 °C passando por um leito de areia granulada (com porosidade e esfericidade dadas) cujo diâmetro de grão a gente vai determinar a partir da análise de peneiras.
Conteúdo: mecânica dos fluidos em meios porosos (“equação de Ergun”) + balanço de energia (perda de carga → altura d’água).
O que vamos precisar:
  1. determinar o diâmetro médio dos grãos a partir da massa retida em cada fração;
  2. calcular a velocidade superficial (v₀) a partir da vazão e da área do tubo (2″);
  3. usar a equação de Ergun para achar a perda de carga por unidade de comprimento (ΔP/L);
  4. converter essa perda de carga em “altura de coluna d’água” H via Δh = ΔP/(ρ·g).

Passo 2

Calcular o diâmetro médio dos grãos (d_m) pelo somatório pesado:
Dados de peneiras:
– fração 1: d₁ = 0,401 mm, m₁ = 51 g
– fração 2: d₂ = 0,341 mm, m₂ = 40 g
– fração 3: d₃ = 0,201 mm, m₃ = 18 g
Total de massa:
M = 51 + 40 + 18 = 109;g
Diâmetro médio:
$$d_m = \frac{d_1 m_1 + d_2 m_2 + d_3 m_3}{M}
= \frac{0{,}401\cdot51 + 0{,}341\cdot40 + 0{,}201\cdot18}{109}
\approx 0{,}346;\mathrm{mm}
= 3{,}46\times10^{-4};\mathrm{m}$$

Passo 3

Calcular a velocidade superficial no leito:
Vazão Q = 5,8 m³/h = 5,8/3600 ≃ 1,61×10⁻³ m³/s
Diâmetro do tubo D = 2″ = 0,0508 m, área A = π·D²/4 ≃ 2,026×10⁻³ m²
$$v_0 = \frac{Q}{A} = \frac{1{,}61\times10{-3}}{2{,}026\times10{-3}}
\approx 0{,}794;\mathrm{m/s}$$

Passo 4

Aplicar a equação de Ergun para perda de carga em leito fixo:
De
onde
– ε = 0,52 (porosidade)
– μ = 0,891×10⁻³ Pa·s (água a 25 °C)
– ρ = 997 kg/m³
Substituindo:
  1. termo viscoso:
150(1-0.52)^20.52^3,0.891times10^-3times0.794(3,46times10^-4)^2 approx 1,45times10^6;Pa/m
  1. termo inercial:
1,75,(1-0.52)0.52^3;997;0.794^23,46times10^-4 approx 1,08times10^7;Pa/m
Somando os dois:
De

Passo 5

Converter perda de carga em “altura de coluna d’água” (H) usando
De
Logo, por metro de leito:
Deá
Isto significa que, para cada 1 m de profundidade de areia, a perda de carga seria 1.255 × 10³ mca (!) – um valor obviamente irreal para projeto, sinal de que a velocidade superficial está altíssima para esse granulado.

Resposta

A perda de carga por metro de leito calculada pela equação de Ergun corresponde a aproximadamente
1255 mca por metro de leito de areia.
Ou seja, para manter a vazão de 5,8 m³/h num leito cuja seção equivale a um tubo de 2″, seria necessária uma altura de coluna d’água H ≃ 1,255×10³ m para cada metro de filtro – valor que mostra na prática a inviabilidade de trabalhar com essa granulometria e essa velocidade.

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