Quando soube que você fazia operações unitárias I, o professor Pedro Paulo, diretor do instituto de tecnologia, pediu sua ajuda para instalaçāo de uma caixa dágua que abasteceria o IT. Ele informou que tem interesse em instalar um filtro de areia com características conhecidas para purificar a água. Ele informou também que, para atender a demanda do IT, DTA, DEQ e FAPUR, precisará manter uma vazão de
à
através de uma tubulação de
.
Dados do meio poroso:
Porosidade: 0,52
Esfericidade: 0,75
\
hline Série Tyler
\begin{tabular}{c}
Massa retida \
\end{tabular}
hline
0,401
51
hline
0,341
40
hline
0,201
18
hline \
O diretor pediu que você calculasse qual altura (H) que deveria ser instalada a caixa dágua.
Dados do meio poroso:
Porosidade: 0,52
Esfericidade: 0,75
hline Série Tyler |
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\begin{tabular}{c} Massa retida \ \end{tabular} |
hline
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0,401 | 51 |
hline
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0,341 | 40 |
hline
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0,201 | 18 |
hline \ |
Passo 1
Então, o enunciado pede para a gente descobrir qual “altura de coluna d’água” (H) é necessária na caixa para, por gravidade, manter uma vazão de 5,8 m³/h a 25 °C passando por um leito de areia granulada (com porosidade e esfericidade dadas) cujo diâmetro de grão a gente vai determinar a partir da análise de peneiras.
Conteúdo: mecânica dos fluidos em meios porosos (“equação de Ergun”) + balanço de energia (perda de carga → altura d’água).
O que vamos precisar:
Conteúdo: mecânica dos fluidos em meios porosos (“equação de Ergun”) + balanço de energia (perda de carga → altura d’água).
O que vamos precisar:
- determinar o diâmetro médio dos grãos a partir da massa retida em cada fração;
- calcular a velocidade superficial (v₀) a partir da vazão e da área do tubo (2″);
- usar a equação de Ergun para achar a perda de carga por unidade de comprimento (ΔP/L);
- converter essa perda de carga em “altura de coluna d’água” H via Δh = ΔP/(ρ·g).
Passo 2
Calcular o diâmetro médio dos grãos (d_m) pelo somatório pesado:
Dados de peneiras:
– fração 1: d₁ = 0,401 mm, m₁ = 51 g
– fração 2: d₂ = 0,341 mm, m₂ = 40 g
– fração 3: d₃ = 0,201 mm, m₃ = 18 g
Total de massa:
Dados de peneiras:
– fração 1: d₁ = 0,401 mm, m₁ = 51 g
– fração 2: d₂ = 0,341 mm, m₂ = 40 g
– fração 3: d₃ = 0,201 mm, m₃ = 18 g
Total de massa:
Diâmetro médio:
$$d_m = \frac{d_1 m_1 + d_2 m_2 + d_3 m_3}{M}
= \frac{0{,}401\cdot51 + 0{,}341\cdot40 + 0{,}201\cdot18}{109}
\approx 0{,}346;\mathrm{mm}
\approx 0{,}346;\mathrm{mm}
= 3{,}46\times10^{-4};\mathrm{m}$$
Passo 3
Calcular a velocidade superficial no leito:
Vazão Q = 5,8 m³/h = 5,8/3600 ≃ 1,61×10⁻³ m³/s
Diâmetro do tubo D = 2″ = 0,0508 m, área A = π·D²/4 ≃ 2,026×10⁻³ m²
Vazão Q = 5,8 m³/h = 5,8/3600 ≃ 1,61×10⁻³ m³/s
Diâmetro do tubo D = 2″ = 0,0508 m, área A = π·D²/4 ≃ 2,026×10⁻³ m²
$$v_0 = \frac{Q}{A} = \frac{1{,}61\times10{-3}}{2{,}026\times10{-3}}
\approx 0{,}794;\mathrm{m/s}$$
Passo 4
Aplicar a equação de Ergun para perda de carga em leito fixo:
onde
– ε = 0,52 (porosidade)
– μ = 0,891×10⁻³ Pa·s (água a 25 °C)
– ρ = 997 kg/m³
Substituindo:
– ε = 0,52 (porosidade)
– μ = 0,891×10⁻³ Pa·s (água a 25 °C)
– ρ = 997 kg/m³
Substituindo:
- termo viscoso:
- termo inercial:
Somando os dois:
Passo 5
Converter perda de carga em “altura de coluna d’água” (H) usando
Logo, por metro de leito:
Isto significa que, para cada 1 m de profundidade de areia, a perda de carga seria 1.255 × 10³ mca (!) – um valor obviamente irreal para projeto, sinal de que a velocidade superficial está altíssima para esse granulado.
Resposta
A perda de carga por metro de leito calculada pela equação de Ergun corresponde a aproximadamente
1255 mca por metro de leito de areia.
Ou seja, para manter a vazão de 5,8 m³/h num leito cuja seção equivale a um tubo de 2″, seria necessária uma altura de coluna d’água H ≃ 1,255×10³ m para cada metro de filtro – valor que mostra na prática a inviabilidade de trabalhar com essa granulometria e essa velocidade.
1255 mca por metro de leito de areia.
Ou seja, para manter a vazão de 5,8 m³/h num leito cuja seção equivale a um tubo de 2″, seria necessária uma altura de coluna d’água H ≃ 1,255×10³ m para cada metro de filtro – valor que mostra na prática a inviabilidade de trabalhar com essa granulometria e essa velocidade.