A spherical vessel used as a reactor for producing phar-maceuticals has a 10-mm-thick stainless steel wall ( k=
17 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) and an inner diameter of 1 m . The exterior surface of the vessel is exposed to ambient air ( T_{x}=
25^{\circ} \mathrm{C} ) for which a convection coefficient of 6 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} may be assumed.
(a) During steady-state operation, an inner surface temperature of 50^{\circ} \mathrm{C} is maintained by energy generated within the reactor. What is the heat loss from the vessel?
(b) If a 20-\mathrm{mm}-thick layer of fiberglass insulation ( k= 0.040 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) is applied to the exterior of the vessel and the rate of thermal energy generation is unchanged, what is the inner surface temperature of the vessel?

Passo 1

O problema envolve transferência de calor em regime permanente por condução radial em casca esférica de aço inoxidável, seguida de convecção para o ar ambiente. Dados principais:
– Espessura da parede de aço inoxidável: t_{\text{aço}}=10\\ \text{mm}ç
– Condutividade térmica do aço inoxidável: k_{\text{aço}}=17\\ \mathrm{W/m\cdot K}ç
– Diâmetro interno da esfera: D_i=1{,}0\\ \mathrm{m}\Rightarrow r_i=0{,}50\\ \mathrm{m}
– Convecção no exterior: coeficiente h=6\\ \mathrm{W/m^2\cdot K}, temperatura ambiente T_\infty=25{}^\circ\mathrm{C}
– Temperatura da superfície interna (aço–fluido): T_i=50{}^\circ\mathrm{C}
Objetivos:
(a) Calcular a taxa de calor perdida \dot Q.
(b) Ao aplicar 20 mm de isolamento de fibra de vidro k_{\text{fibra}}=0{,}040\\ \mathrm{W/m\cdot K}, encontrar a nova T_i mantendo \dot Q inalterada.

Passo 2

Modelamos resistência térmica em série:
  1. Condução na casca esférica de aço inox entre raios r_i e r_o=r_i+t_{\text{aço}}ç.
  2. Convecção do raio r_o para o ambiente.
    A resistência à condução em casca esférica é
R_{\text{cond, aço}} =\frac{1}{4\pi\,k_{\text{aço}}}\Bigl(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\Bigr)çç
com r_o=0{,}50+0{,}01=0{,}51\\ \mathrm{m}.
A resistência à convecção na superfície externa é
R_{\text{conv}} =\frac{1}{h\,A_o} =\frac{1}{h\,4\pi\,r_o^2}\,.

Passo 3

Calculando numericamente:
R_{\text{cond, aço}} =\frac{1}{4\pi\cdot17}\Bigl(\frac{1}{0{,}50}-\frac{1}{0{,}51}\Bigr) \approx0{,}00018\\ \mathrm{K/W}ç
R_{\text{conv}} =\frac{1}{6\cdot4\pi\,(0{,}51)^2} \approx0{,}0510\\ \mathrm{K/W}
Portanto,
R_{\text{total, sem isolamento}} =R_{\text{cond, aço}}+R_{\text{conv}} \approx0{,}0512\\ \mathrm{K/W}.ç
A queda de temperatura total é \Delta T=T_i-T_\infty=50-25=25\\ \mathrm{K}, logo
\dot Q =\frac{\Delta T}{R_{\text{total, sem isolamento}}} \approx\frac{25}{0{,}0512} \approx488{,}3\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Agora adicionamos um revestimento de fibra de vidro de espessura t_{\text{fibra}}=20\\ \text{mm}. O novo raio externo é
r_{o2}=r_o+t_{\text{fibra}}=0{,}51+0{,}02=0{,}53\\ \mathrm{m}.
Há três resistências em série:
– Condução no aço: R_{\text{cond, aço}}=0{,}00018\\ \mathrm{K/W}ç (igual antes).
– Condução na fibra de vidro:
R_{\text{cond, fibra}} =\frac{1}{4\pi\,k_{\text{fibra}}}\Bigl(\frac{1}{r_o}-\frac{1}{r_{o2}}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\cdot0{,}040}\Bigl(\frac{1}{0{,}51}-\frac{1}{0{,}53}\Bigr) \approx0{,}1472\\ \mathrm{K/W}.
– Convecção na nova superfície externa:
R_{\text{conv,2}} =\frac{1}{6\cdot4\pi\,(0{,}53)^2} \approx0{,}0473\\ \mathrm{K/W}.
Logo a resistência total com isolamento é
R_{\text{total, com isolamento}} =0{,}00018+0{,}1472+0{,}0473 \approx0{,}1947\\ \mathrm{K/W}.
Mantendo \dot Q=488{,}3\\ \mathrm{W}, a queda térmica do interior até o ar é
\Delta T_{\text{novo}} =\dot Q\;R_{\text{total, com isolamento}} \approx488{,}3\cdot0{,}1947 \approx95{,}0\\ \mathrm{K}.
Portanto a nova temperatura interna é
T_i =T_\infty+\Delta T_{\text{novo}} =25+95{,}0 \approx120{}^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) \dot Q\approx488\\ \mathrm{W}.
(b) T_i\approx120{}^\circ\mathrm{C}.

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