The wall of a spherical tank of 1-\mathrm{m} diameter contains an exothermic chemical reaction and is at 200^{\circ} \mathrm{C} when the ambient air temperature is 25^{\circ} \mathrm{C}. What thickness of urethane foam is required to reduce the exterior temperature to 40^{\circ} \mathrm{C}, assuming the convection coefficient is 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} for both situations? What is the percentage reduction in heat rate achieved by using the insulation?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque esférico de diâmetro interno 1{,}0\;\mathrm{m} cuja superfície interna está a 200\,^\circ\mathrm{C}. Queremos envolver essa esfera com espuma de uréia (condutividade térmica k) de tal espessura que a temperatura da superfície externa da espuma seja 40\,^\circ\mathrm{C}, sabendo que o coeficiente de convecção na face externa vale h=20\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)} e que a temperatura ambiente é 25\,^\circ\mathrm{C}. Faltando o valor de k da espuma, não há como prosseguir numericamente.

Passo 2

Para determinação da espessura seria necessário usar a resistência térmica em série: resistência de condução esférica da espuma mais resistência de convecção externa. Em regime estacionário, o fluxo térmico \dot Q satisfaz
\dot Q \;=\;\frac{T_{\mathrm{int}}-T_{\infty}}{R_{\mathrm{cond}} + R_{\mathrm{conv}}}
onde
R_{\mathrm{cond}} = \frac{1}{4\pi k}\,\frac{r_o - r_i}{r_i\,r_o}, \qquad R_{\mathrm{conv}} = \frac{1}{4\pi\,r_o^2\,h}.
Aqui r_i=0{,}5\;\mathrm m é o raio interno, r_o = r_i + \delta o raio externo (com espessura \delta), e T_{\mathrm{int}}=200\,^\circ\mathrm{C}, T_{\infty}=25\,^\circ\mathrm{C}. A condição de contorno impõe T(r_o)=40\,^\circ\mathrm{C}, o que fecharia o sistema para \delta após introduzir k.

Passo 3

Sem o valor numérico de k da espuma de uréia, não há como calcular a espessura \delta.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a espessura de isolamento nem a redução percentual do fluxo térmico pois não foi fornecido o valor da condutividade térmica k da espuma de uréia.

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