Encontre a função y(x) que minimiza o funcional
J[y]=\int_{0}^{1}\left(y^{\prime}(x)^{2}+y(x)^{2}\right) d x
sob as condições de contorno y(0)=0 e y(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(x) que minimiza o funcional:
J[y] = \int_{0}^{1} \bigl(y'(x)^{2} + y(x)^{2}\bigr)\,dx
sujeito a y(0)=0 e y(1)=1. Vamos usar o método de Euler–Lagrange, que gera uma equação diferencial para o minimizador.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana
L\bigl(y,y'\bigr) = y'^{2} + y^{2}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial L}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial L}{\partial y'} = 2y'.
A equação de Euler–Lagrange
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial y'}\Bigr) \;-\;\frac{\partial L}{\partial y} \;=\;0
fica
2y'' - 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y'' - y = 0.

Passo 3

A equação diferencial linear homogênea y'' - y = 0 tem solução geral
y(x) = A\,e^{x} + B\,e^{-x}.
Impondo y(0)=0 A + B = 0, logo B = -A. Em seguida, y(1)=1 implica
A\,e + B\,e^{-1} = 1 \quad\Longrightarrow\quad A\,(e - e^{-1}) = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{1}{e - e^{-1}} = \frac{e}{e^{2}-1},
e portanto B = -\frac{e}{e^{2}-1}.

Passo 4

Substituindo A e B na expressão geral:
y(x) = \frac{e}{e^{2}-1}\bigl(e^{x} - e^{-x}\bigr) = \frac{2e\,\operatorname{sinh}(x)}{e^{2}-1} = \frac{\operatorname{sinh}(x)}{\operatorname{sinh}(1)}.

Resposta

y(x) = \frac{\operatorname{sinh}(x)}{\operatorname{sinh}(1)}.

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