Encontre a função
que minimiza o funcional
sob as condições de contorno
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que minimiza o funcional:
sujeito a
e
. Vamos usar o método de Euler–Lagrange, que gera uma equação diferencial para o minimizador.
Passo 2
Definimos a Lagrangiana
Calculamos as derivadas parciais:
A equação de Euler–Lagrange
fica
Passo 3
A equação diferencial linear homogênea
tem solução geral
Impondo
dá
, logo
. Em seguida,
implica
e portanto
.
Passo 4
Substituindo
e
na expressão geral: