Two observables
and
, which do not involve time explicitly, are known not to commute,
yet we also know that
and
both commute with the Hamiltonian:
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
- Dois observáveis (operadores hermitianos)
e satisfazem . - Ambos
e comutam com o Hamiltoniano : e .
A pergunta implícita é: quais são as consequências dessas relações? Em particular, o que podemos concluir sobre a estrutura do espectro de
e sobre como
e
atuam nos autoestados de energia?
Passo 2
Primeira ideia teórica importante (explicada passo a passo):
- Quando dizemos que
isso significa que e são “compatíveis” no sentido de que preserva os subespaços próprios de . Vou mostrar isso com um cálculo simples. - Tome um autoestado de
, isto é um vetor tal que
onde
é o autovalor de energia correspondente.
- Considere o elemento de matriz do comutador entre dois autoestados
e :
Como
e
, isso dá
- Se
então o lado esquerdo é zero, logo
- Dessa igualdade segue a conclusão fundamental: se
então . Ou seja, só pode ter elementos de matriz não nulos entre estados com o mesmo valor de energia. Em linguagem mais simples: é “block-diagonal” no base de autoestados de , cada bloco correspondendo a um subespaço de mesma energia (autoespaço degenerado).
Passo 3
Aplicando o mesmo raciocínio a
e
:
- Como
e , ambos e são block-diagonais na base de autoestados de . Cada um atua apenas dentro dos autoespaços de energia (ou seja, eles não conectam diferentes energias). - Portanto, qualquer não-comutatividade entre
e só pode ocorrer dentro desses blocos correspondentes a energias degeneradas. Em símbolos: pode ser diferente de zero apenas porque, para alguma energia , as restrições e (as versões dos operadores no subespaço próprio de energia ) não comutam.
Passo 4
Agora a conclusão lógica direta usada em provas e exames:
- Se o espectro de
fosse totalmente não degenerado (isto é, todos os autovalores distintos e cada autoespaço tiver dimensão ), então pelas observações anteriores cada seria diagonal na base . Dois operadores diagonais na mesma base necessariamente comutam. Portanto, se fosse não degenerado, qualquer par de operadores que comutem com também comutaria entre si. - Mas isso contradiz a hipótese
. Logo a hipótese de inexistência de degenerescência é impossível.
Concluímos que o Hamiltoniano
tem obrigatoriamente níveis de energia degenerados: existe pelo menos um autovalor
cujo autoespaço
tem dimensão maior que
. Dentro desse (ou desses) autoespaço(s) degenerado(s) os operadores
e
agem de modo não compatível entre si, produzindo
.
Passo 5
Interpretação física e exemplos concretos (para fixar a ideia):
- Físicamente,
significa que é uma constante do movimento (no quadro de Heisenberg seu valor não muda no tempo). Dois geradores de simetria diferentes que comutam com mas não entre si indicam que a simetria do sistema é não-abélia; representações não-abélias tipicamente vêm com degenerescências (multiplets). - Exemplo simples: se
é proporcional à identidade (por exemplo ou sistema sem energia interna), então todo operador comuta com e o espectro é totalmente degenerado; pode-se escolher e (componentes de spin), que não comutam entre si, ilustrando o caso. - Outro exemplo físico: Hamiltonianos com simetria rotacional (potencial central) comutam com todos os componentes do momento angular
, para . Mas . Essa situação é possível porque há degenerescência em (para cada há espaço degenerado onde os diferentes componentes de atuam como operadores não comutativos).
Passo 6
Consequências práticas para medições e escolha de base na prova:
- Não existe uma base de autoestados comum de
e que diagonalize ambos globalmente. Porém, dentro de cada autoespaço de energia degenerado é possível escolher uma base que diagonalize qualquer um deles (mas não ambos simultaneamente, em geral). - Em provas: ao ver
verifique degenerescência com o argumento do elemento de matriz . Se pedir para explicar por que dois operadores que comutam com não comutam entre si, diga que isso implica degenerescência de e que a não-comutatividade ocorre dentro dos subespaços degenerados.
Resposta
O Hamiltoniano
possui níveis de energia degenerados (existe pelo menos um autovalor com multiplicidade maior que
).
A não-comutatividade só pode ocorrer atuando dentro dos autoespaços degenerados de
; fora desses blocos (entre autovalores distintos) ambos são diagonais e, portanto, comutam.
A não-comutatividade