Two observables A_{1} and A_{2}, which do not involve time explicitly, are known not to commute,
\left[A_{1}, A_{2}\right] \neq 0,
yet we also know that A_{1} and A_{2} both commute with the Hamiltonian:
\left[A_{1}, H\right]=0, \quad\left[A_{2}, H\right]=0 .

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • Dois observáveis (operadores hermitianos) A_{1} e A_{2} satisfazem \left[A_{1},A_{2}\right]\neq 0.
  • Ambos A_{1} e A_{2} comutam com o Hamiltoniano H: \left[A_{1},H\right]=0 e \left[A_{2},H\right]=0.
A pergunta implícita é: quais são as consequências dessas relações? Em particular, o que podemos concluir sobre a estrutura do espectro de H e sobre como A_{1} e A_{2} atuam nos autoestados de energia?

Passo 2

Primeira ideia teórica importante (explicada passo a passo):
  • Quando dizemos que \left[A,H\right]=0 isso significa que A e H são “compatíveis” no sentido de que A preserva os subespaços próprios de H. Vou mostrar isso com um cálculo simples.
  • Tome um autoestado de H, isto é um vetor |E_n\rangle tal que
H |E_n\rangle = E_n |E_n\rangle,
onde \;E_n\; é o autovalor de energia correspondente.
  • Considere o elemento de matriz do comutador entre dois autoestados |E_m\rangle e |E_n\rangle:
\langle E_m|[A,H]|E_n\rangle = \langle E_m|A H - H A|E_n\rangle.
Como H|E_n\rangle = E_n|E_n\rangle e \langle E_m|H = E_m \langle E_m|, isso dá
\langle E_m|[A,H]|E_n\rangle = (E_n - E_m)\langle E_m|A|E_n\rangle.
  • Se [A,H]=0 então o lado esquerdo é zero, logo
(E_n - E_m)\langle E_m|A|E_n\rangle = 0.
  • Dessa igualdade segue a conclusão fundamental: se E_n \neq E_m então \langle E_m|A|E_n\rangle = 0. Ou seja, A só pode ter elementos de matriz não nulos entre estados com o mesmo valor de energia. Em linguagem mais simples: A é “block-diagonal” no base de autoestados de H, cada bloco correspondendo a um subespaço de mesma energia (autoespaço degenerado).

Passo 3

Aplicando o mesmo raciocínio a A_{1} e A_{2}:
  • Como \left[A_{1},H\right]=0 e \left[A_{2},H\right]=0, ambos A_{1} e A_{2} são block-diagonais na base de autoestados de H. Cada um atua apenas dentro dos autoespaços de energia (ou seja, eles não conectam diferentes energias).
  • Portanto, qualquer não-comutatividade entre A_{1} e A_{2} só pode ocorrer dentro desses blocos correspondentes a energias degeneradas. Em símbolos: \left[A_{1},A_{2}\right] pode ser diferente de zero apenas porque, para alguma energia E, as restrições A_{1}|_{ \mathcal{H}_{E}} e A_{2}|_{ \mathcal{H}_{E}} (as versões dos operadores no subespaço próprio de energia E) não comutam.

Passo 4

Agora a conclusão lógica direta usada em provas e exames:
  • Se o espectro de H fosse totalmente não degenerado (isto é, todos os autovalores E_n distintos e cada autoespaço tiver dimensão 1), então pelas observações anteriores cada A_{j} seria diagonal na base \{|E_n\rangle\}. Dois operadores diagonais na mesma base necessariamente comutam. Portanto, se H fosse não degenerado, qualquer par de operadores que comutem com H também comutaria entre si.
  • Mas isso contradiz a hipótese \left[A_{1},A_{2}\right]\neq 0. Logo a hipótese de inexistência de degenerescência é impossível.
Concluímos que o Hamiltoniano H tem obrigatoriamente níveis de energia degenerados: existe pelo menos um autovalor E cujo autoespaço \mathcal{H}_{E} tem dimensão maior que 1. Dentro desse (ou desses) autoespaço(s) degenerado(s) os operadores A_{1} e A_{2} agem de modo não compatível entre si, produzindo \left[A_{1},A_{2}\right]\neq 0.

Passo 5

Interpretação física e exemplos concretos (para fixar a ideia):
  • Físicamente, \left[A_j,H\right]=0 significa que A_j é uma constante do movimento (no quadro de Heisenberg seu valor não muda no tempo). Dois geradores de simetria diferentes que comutam com H mas não entre si indicam que a simetria do sistema é não-abélia; representações não-abélias tipicamente vêm com degenerescências (multiplets).
  • Exemplo simples: se H é proporcional à identidade (por exemplo H=0 ou sistema sem energia interna), então todo operador comuta com H e o espectro é totalmente degenerado; pode-se escolher A_1=S_x e A_2=S_z (componentes de spin), que não comutam entre si, ilustrando o caso.
  • Outro exemplo físico: Hamiltonianos com simetria rotacional (potencial central) comutam com todos os componentes do momento angular L_i, \left[H,L_i\right]=0 para i=x,y,z. Mas \left[L_x,L_z\right]\neq 0. Essa situação é possível porque há degenerescência em m (para cada l há espaço degenerado onde os diferentes componentes de \mathbf{L} atuam como operadores não comutativos).

Passo 6

Consequências práticas para medições e escolha de base na prova:
  • Não existe uma base de autoestados comum de A_{1} e A_{2} que diagonalize ambos globalmente. Porém, dentro de cada autoespaço de energia degenerado é possível escolher uma base que diagonalize qualquer um deles (mas não ambos simultaneamente, em geral).
  • Em provas: ao ver \left[A,H\right]=0 verifique degenerescência com o argumento do elemento de matriz (E_n-E_m)\langle E_m|A|E_n\rangle=0. Se pedir para explicar por que dois operadores que comutam com H não comutam entre si, diga que isso implica degenerescência de H e que a não-comutatividade ocorre dentro dos subespaços degenerados.

Resposta

O Hamiltoniano H possui níveis de energia degenerados (existe pelo menos um autovalor com multiplicidade maior que 1).
A não-comutatividade \left[A_{1},A_{2}\right]\neq 0 só pode ocorrer atuando dentro dos autoespaços degenerados de H; fora desses blocos (entre autovalores distintos) ambos são diagonais e, portanto, comutam.

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