Let A and B be observables. Suppose the simultaneous eigenkets of A and B\left\{\left|a^{\prime}, b^{\prime}\right\rangle\right\} form a complete orthonormal set of base kets. Can we always conclude that
[A, B]=0 ?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Foi dito que A e B são observáveis (logo operadores hermitianos).
Existe um conjunto de kets \{\left|a',b'\right\rangle\} que são autovetores simultâneos de A e B.
Esse conjunto é ortonormal e completo (forma uma base ortonormal completa do espaço de Hilbert).
A pergunta: a partir disso, podemos concluir que
[A,B]=0\\ ?
Passo 2
Definições e propriedades básicas que usarei (explicadas de forma didática).
O comutador de dois operadores é definido por
[A,B]=AB-BA.
Dizer que \left|a',b'\right\rangle é autovetor simultâneo de A e B significa que existem números reais (autovalores, porque são observáveis) a' e b' tais que
Completeness (completude) da base diz que a identidade pode ser escrita como soma (ou integral) sobre os projetores da base:
\sum_{a',b'} \left|a',b'\right\rangle\left\langle a',b'\right| = I,
onde a soma pode ser discreta ou incluir integrais se houver espectro contínuo. Essa relação é essencial para expandir qualquer operador nesta base.
Projetores associados à base satisfazem \left|a',b'\right\rangle\left\langle a',b'\right|\left|a'',b''\right\rangle = \delta_{a'a''}\delta_{b'b''}\left|a',b'\right\rangle.
Passo 3
Escrever A e B na forma diagonal nessa base (spectral decomposition).
Como a base \{\left|a',b'\right\rangle\} diagonaliza simultaneamente ambos, cada operador pode ser escrito como soma (ou integral) sobre esses projetores com seus respectivos autovalores:
Explicação: cada termo é um projetor \left|a',b'\right\rangle\left\langle a',b'\right| multiplicado pelo autovalor correspondente; somando sobre toda a base recupera o operador (é a decomposição espectral quando a base é de autovetores).
Passo 4
Calcular AB usando as decomposições e simplificar.
Multiplicando as duas somas:
AB=\sum_{a',b'} a' b'\,\left|a',b'\right\rangle\left\langle a',b'\right|.
Passo 5
Calcular BA da mesma forma e comparar.
Repetindo o mesmo para BA obtemos
BA=\sum_{a',b'} b' a'\,\left|a',b'\right\rangle\left\langle a',b'\right|.
Como a'b'=b'a' (números reais comutam), segue que
AB=\sum_{a',b'} a' b'\,\left|a',b'\right\rangle\left\langle a',b'\right| = \sum_{a',b'} b' a'\,\left|a',b'\right\rangle\left\langle a',b'\right| =BA.
Passo 6
Conclusão lógica final e interpretação prática.
Tendo mostrado que AB=BA como operadores, concluímos que o comutador é nulo:
[A,B]=AB-BA=0.
Outra forma intuitiva: AB e BA coincidem em cada vetor da base \{\left|a',b'\right\rangle\} (pois ambos atuam como multiplicação por a'b' nesse vetor); como os operadores lineares que coincidem em toda uma base ortonormal completa são idênticos, o comutador deve ser zero.
Passo 7
Observações adicionais (didáticas e úteis para a prova).
O argumento acima usa fortemente o fato de existir uma base completa de autovetores simultâneos. Se tal base existe, então ambos os operadores são simultaneamente diagonalizáveis e, portanto, comutam — isto é uma implicação direta e simples.
A recíproca também é frequentemente usada em cursos: para operadores hermitianos em espaços finito-dimensionais, [A,B]=0 implica que existe uma base comum de autovetores (pode exigir cuidado com degenerescências, mas é verdade que operadores que comutam podem ser simultaneamente diagonalizados). Aqui, porém, o enunciado já dá a base comum, então não precisamos dessa direção.
Se a base comum fosse apenas parcial (não completa), não haveria garantia de que [A,B]=0 em todo o espaço; é crucial que a base seja completa.