Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Focos (-2,4) e (6,4), eixo menor de comprimento 8.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (lista do que está explícito e o que se pede):
  • Focos em (-2,4) e (6,4).
  • Comprimento do eixo menor igual a 8.
  • Pede-se a equação reduzida da elipse (ou seja, a forma padrão centrada em (h,k) com os semieixos a e b conhecidos).

Passo 2

Identificar o centro e a orientação do eixo principal (sem resolver ainda as dimensões).
  • O centro de uma elipse com dois focos é o ponto médio dos focos. O ponto médio entre (-2,4) e (6,4) é
\left(\frac{-2+6}{2},\frac{4+4}{2}\right) = (2,4).
Logo o centro é (h,k)=(2,4).
  • Como os dois focos têm a mesma coordenada y (ambos com y=4), o eixo focal (eixo maior) é horizontal. Isso significa que a forma reduzida da elipse será
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,
onde a é o semieixo maior (associado a x) e b é o semieixo menor (associado a y).

Passo 3

Determinar c (a distância do centro a cada foco).
  • A distância entre os focos é 2c. Calcule a distância entre (-2,4) e (6,4):
\text{distância} = \sqrt{(6-(-2))^2+(4-4)^2}=\sqrt{8^2+0^2}=8.â
  • Portanto 2c=8 e
c=4.
  • Aqui explicando o que é c: é a distância do centro até cada foco; em posição padrão com eixo maior horizontal os focos ficam em (h\pm c,k).

Passo 4

Determinar b (semieixo menor) a partir do comprimento do eixo menor fornecido.
  • O enunciado deu o comprimento do eixo menor igual a 8. O semieixo menor é metade desse comprimento, logo
b=\frac{8}{2}=4.
  • Assim b=4 e b^2=16.

Passo 5

Usar a relação entre a, b e c para encontrar a.
  • Para uma elipse com eixo maior horizontal vale a relação
c^2 = a^2 - b^2.
Esta fórmula vem da geometria da elipse em sua forma padrão; nela a é o semieixo maior, b o semieixo menor e c a distância do centro ao foco.
  • Isolando a^2:
a^2 = b^2 + c^2.
  • Substituindo os valores numéricos b^2=16 e c^2=4^2=16:
a^2 = 16 + 16 = 32.
  • Portanto a=\sqrt{32}=4\sqrt{2} (mas para a equação reduzida basta usar a^2=32).

Passo 6

Escrever a equação reduzida da elipse centrada em (h,k)=(2,4) com eixo maior horizontal.
  • A forma padrão é
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.
  • Substituindo h=2, k=4, a^2=32 e b^2=16 obtemos a equação desejada:
\frac{(x-2)^2}{32}+\frac{(y-4)^2}{16}=1.

Passo 7

Pequena verificação (sanity check) para ganhar confiança:
  • Temos c=4 e a=\sqrt{32}\approx5{,}657, de modo que c<a, condição necessária para que a curva seja realmente uma elipse (os focos ficam dentro do eixo maior). Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-2)^2}{32}+\frac{(y-4)^2}{16}=1

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