Determine a equação reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
Focos
e
, eixo menor de comprimento 8.
Focos
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (lista do que está explícito e o que se pede):
- Focos em
e . - Comprimento do eixo menor igual a
. - Pede-se a equação reduzida da elipse (ou seja, a forma padrão centrada em
com os semieixos e conhecidos).
Passo 2
Identificar o centro e a orientação do eixo principal (sem resolver ainda as dimensões).
- O centro de uma elipse com dois focos é o ponto médio dos focos. O ponto médio entre
e é
Logo o centro é
.
- Como os dois focos têm a mesma coordenada
(ambos com ), o eixo focal (eixo maior) é horizontal. Isso significa que a forma reduzida da elipse será
onde
é o semieixo maior (associado a
) e
é o semieixo menor (associado a
).
Passo 3
Determinar
(a distância do centro a cada foco).
- A distância entre os focos é
. Calcule a distância entre e :
- Portanto
e
- Aqui explicando o que é
: é a distância do centro até cada foco; em posição padrão com eixo maior horizontal os focos ficam em .
Passo 4
Determinar
(semieixo menor) a partir do comprimento do eixo menor fornecido.
- O enunciado deu o comprimento do eixo menor igual a
. O semieixo menor é metade desse comprimento, logo
- Assim
e .
Passo 5
Usar a relação entre
,
e
para encontrar
.
- Para uma elipse com eixo maior horizontal vale a relação
Esta fórmula vem da geometria da elipse em sua forma padrão; nela
é o semieixo maior,
o semieixo menor e
a distância do centro ao foco.
- Isolando
:
- Substituindo os valores numéricos
e :
- Portanto
(mas para a equação reduzida basta usar ).
Passo 6
Escrever a equação reduzida da elipse centrada em
com eixo maior horizontal.
- A forma padrão é
- Substituindo
, , e obtemos a equação desejada:
Passo 7
Pequena verificação (sanity check) para ganhar confiança:
- Temos
e , de modo que , condição necessária para que a curva seja realmente uma elipse (os focos ficam dentro do eixo maior). Tudo consistente.