Questão 7
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Assinale todas as opções corretas, se existirem:
Sejam
números reais. O domínio da função
é constituído de
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
a. Nenhuma das outras alternativas está correta
b. Um conjunto conexo diferente de
, se
e
e
e
e
c. A união disjunta de três conjuntos conexos que não se conectam, se
e
e
e
e
d. A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se
e
e
e
e
e.
, se
e
e
e
e
f.
, se
e
e
Questão 8
Vale 1,00 ponto(s).
Sejam
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale todas as alternativas corretas sobre o domínio da função
Informações relevantes do enunciado (cada alternativa dá condições sobre os parâmetros):
- A função está definida quando o radicando é não negativo e o denominador é diferente de zero.
- Alternativa (b):
. - Alternativa (c):
. - Alternativa (d):
. - Alternativa (e):
. - Alternativa (f):
. - Alternativa (a): afirma que nenhuma das outras alternativas está correta.
A tarefa é analisar cada alternativa sob as condições indicadas e decidir se a descrição do domínio está correta.
Passo 2
Regra geral para o domínio: o radicando deve ser não negativo e o denominador não pode zerar. Expresso isso:
Interpretação prática (útil para examinar cada caso): para pontos onde
é preciso
; para pontos onde
é preciso
. Além disso, pontos com
estão sempre excluídos.
Passo 3
Análise da alternativa (b): condições
.
- Como
e , o denominador é constante: . - Com
e o polinômio quadrático tem discriminante negativo, portanto não tem raízes reais e, por , é sempre positivo: para todo . - Como
, o denominador é positivo para todo . Assim o quociente é estritamente positivo para todo , logo o radicando é positivo em toda . - Conclusão: o domínio é
(um conjunto conectado e igual a ), e não “um conjunto conexo diferente de ”. Portanto a alternativa (b) está incorreta.
Passo 4
Análise da alternativa (c): condições
.
- Novamente
denominador constante . - Com
e a parábola tem duas raízes reais distintas ; o sinal é positivo fora do intervalo e negativo dentro de . - Como
, o quociente será positivo exatamente quando o numerador for negativo, ou seja para . Para qualquer (porque o denominador é constante), o par pertence ao domínio se e só se . - Logo o domínio é o conjunto
, isto é, uma única “faixa” (um produto de um intervalo conectado com ), que é conectado. - A alternativa (c) diz que o domínio é a união disjunta de três conjuntos conexos; isso é falso. Portanto (c) está incorreta.
Passo 5
Análise da alternativa (d): condições
.
- Com
temos novamente denominador constante . - Como
e , a parábola tem duas raízes reais , e agora o sinal é positivo no intervalo e negativo fora. - Com
, o quociente é não negativo exatamente quando o numerador é não negativo, ou seja (incluindo as raízes, porque aí o radicando fica zero e é permitido). - O domínio é portanto
, uma única faixa conectada (um produto de intervalo fechado e ), não a união de dois componentes disjuntos. Logo (d) está incorreta.
Passo 6
Análise da alternativa (e): condições
.
- Denominador constante
. - Com
e o numerador é sempre positivo. - Positivo dividido por negativo é sempre negativo, logo o radicando é negativo para todo
. Não há ponto em que o quociente seja . - Portanto o domínio é o conjunto vazio
, e não . Assim (e) está incorreta.
Passo 7
Análise da alternativa (f): condições
.
- Aqui o denominador depende de
, então a geometria do domínio pode variar com . As condições dadas não fixam nem nem o sinal de , apenas garantem que o numerador é uma parábola com duas raízes (porque e ). - Não há razão lógica para que, sob apenas essas hipóteses, o quociente seja
para todos os ; em geral haverá regiões onde a fração é negativa. Para tornar isso concreto, toma-se um contraexemplo numérico compatível com as hipóteses: escolha (então e ) e (aqui ). Então
- Para
é preciso ; para é preciso ; e está excluído. O domínio resultante não é todo (há pontos excluídos e a forma é mais complicada), portanto a afirmação “ ” em (f) é falsa em geral. - Conclusão: com as hipóteses dadas em (f) não se pode afirmar que o domínio é
; (f) está incorreta.
Passo 8
Como (b), (c), (d), (e) e (f) foram todas analisadas e consideradas incorretas sob as hipóteses que cada uma enuncia, a única alternativa verdadeira é a (a) — isto é, “Nenhuma das outras alternativas está correta”.
Resposta
(a)