Questão 7

Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Assinale todas as opções corretas, se existirem:
Sejam a, b, c, d, e, f números reais. O domínio da função F(x, y)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}} é constituído de
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
\square a. Nenhuma das outras alternativas está correta
\square b. Um conjunto conexo diferente de \mathbb{R}^{2}, se b^{2}<4 a c e a>0 e d=0 e e=0 e f>0
\square c. A união disjunta de três conjuntos conexos que não se conectam, se b^{2}>4 a c e a>0 e d=0 e e=0 e f<0
\square d. A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se b^{2}>4 a c e a<0 e d=0 e e=0 e f>0
\square e. \mathbb{R}^{2}, se b^{2}<4 a c e a>0 e d=0 e e=0 e f<0
\square f. \mathbb{R}^{2}, se b^{2}>4 a c e a<0 e d \neq 0

Questão 8

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale todas as alternativas corretas sobre o domínio da função
F(x,y)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}}.
Informações relevantes do enunciado (cada alternativa dá condições sobre os parâmetros):
  • A função está definida quando o radicando é não negativo e o denominador é diferente de zero.
  • Alternativa (b): b^{2}<4ac,\\ a>0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f>0.
  • Alternativa (c): b^{2}>4ac,\\ a>0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f<0.
  • Alternativa (d): b^{2}>4ac,\\ a<0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f>0.
  • Alternativa (e): b^{2}<4ac,\\ a>0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f<0.
  • Alternativa (f): b^{2}>4ac,\\ a<0,\\ d\neq0.
  • Alternativa (a): afirma que nenhuma das outras alternativas está correta.
    A tarefa é analisar cada alternativa sob as condições indicadas e decidir se a descrição do domínio está correta.

Passo 2

Regra geral para o domínio: o radicando deve ser não negativo e o denominador não pode zerar. Expresso isso:
\text{Dom}(F)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid d y+e x+f\neq0 \text{ e } \frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}\ge 0\}.
Interpretação prática (útil para examinar cada caso): para pontos onde d y+e x+f>0 é preciso a x^{2}+b x+c\ge0; para pontos onde d y+e x+f<0 é preciso a x^{2}+b x+c\le0. Além disso, pontos com d y+e x+f=0 estão sempre excluídos.

Passo 3

Análise da alternativa (b): condições b^{2}<4ac,\\ a>0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f>0.
  • Como d=0 e e=0, o denominador é constante: d y+e x+f=f.
  • Com a>0 e b^{2}<4ac o polinômio quadrático a x^{2}+b x+c tem discriminante negativo, portanto não tem raízes reais e, por a>0, é sempre positivo: a x^{2}+b x+c>0 para todo x.
  • Como f>0, o denominador é positivo para todo (x,y). Assim o quociente \dfrac{a x^{2}+b x+c}{f} é estritamente positivo para todo (x,y), logo o radicando é positivo em toda \mathbb{R}^2.
  • Conclusão: o domínio é \mathbb{R}^2 (um conjunto conectado e igual a \mathbb{R}^2), e não “um conjunto conexo diferente de \mathbb{R}^2”. Portanto a alternativa (b) está incorreta.

Passo 4

Análise da alternativa (c): condições b^{2}>4ac,\\ a>0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f<0.
  • Novamente d=0,e=0\Rightarrow denominador constante f<0.
  • Com a>0 e b^{2}>4ac a parábola a x^{2}+b x+c tem duas raízes reais distintas r_1<r_2; o sinal é positivo fora do intervalo (r_1,r_2) e negativo dentro de (r_1,r_2).
  • Como f<0, o quociente será positivo exatamente quando o numerador for negativo, ou seja para x\in(r_1,r_2). Para qualquer y (porque o denominador é constante), o par (x,y) pertence ao domínio se e só se x\in(r_1,r_2).
  • Logo o domínio é o conjunto \{(x,y)\mid x\in(r_1,r_2),\\ y\in\mathbb{R}\}, isto é, uma única “faixa” (um produto de um intervalo conectado com \mathbb{R}), que é conectado.
  • A alternativa (c) diz que o domínio é a união disjunta de três conjuntos conexos; isso é falso. Portanto (c) está incorreta.

Passo 5

Análise da alternativa (d): condições b^{2}>4ac,\\ a<0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f>0.
  • Com d=0,e=0 temos novamente denominador constante f>0.
  • Como a<0 e b^{2}>4ac, a parábola a x^{2}+b x+c tem duas raízes reais r_1<r_2, e agora o sinal é positivo no intervalo (r_1,r_2) e negativo fora.
  • Com f>0, o quociente é não negativo exatamente quando o numerador é não negativo, ou seja x\in[r_1,r_2] (incluindo as raízes, porque aí o radicando fica zero e \sqrt{0}=0 é permitido).
  • O domínio é portanto \{(x,y)\mid x\in[r_1,r_2],\\ y\in\mathbb{R}\}, uma única faixa conectada (um produto de intervalo fechado e \mathbb{R}), não a união de dois componentes disjuntos. Logo (d) está incorreta.

Passo 6

Análise da alternativa (e): condições b^{2}<4ac,\\ a>0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f<0.
  • Denominador constante f<0.
  • Com a>0 e b^{2}<4ac o numerador a x^{2}+b x+c é sempre positivo.
  • Positivo dividido por negativo é sempre negativo, logo o radicando é negativo para todo (x,y). Não há ponto em que o quociente seja \ge0.
  • Portanto o domínio é o conjunto vazio \varnothing, e não \mathbb{R}^2. Assim (e) está incorreta.

Passo 7

Análise da alternativa (f): condições b^{2}>4ac,\\ a<0,\\ d\neq0.
  • Aqui o denominador depende de y, então a geometria do domínio pode variar com y. As condições dadas não fixam e nem f nem o sinal de d, apenas garantem que o numerador é uma parábola com duas raízes (porque a<0 e b^{2}>4ac).
  • Não há razão lógica para que, sob apenas essas hipóteses, o quociente seja \ge0 para todos os (x,y); em geral haverá regiões onde a fração é negativa. Para tornar isso concreto, toma-se um contraexemplo numérico compatível com as hipóteses: escolha a=-1,\\ b=0,\\ c=1 (então b^{2}-4ac=4>0 e a<0) e d=1,\\ e=0,\\ f=0 (aqui d\neq0). Então
\text{numerador}= -x^2+1,\qquad \text{denominador}=y.
  • Para y>0 é preciso -x^2+1\ge0\Rightarrow |x|\le1; para y<0 é preciso -x^2+1\le0\Rightarrow |x|\ge1; e y=0 está excluído. O domínio resultante não é todo \mathbb{R}^2 (há pontos excluídos e a forma é mais complicada), portanto a afirmação “ \mathbb{R}^2” em (f) é falsa em geral.
  • Conclusão: com as hipóteses dadas em (f) não se pode afirmar que o domínio é \mathbb{R}^2; (f) está incorreta.

Passo 8

Como (b), (c), (d), (e) e (f) foram todas analisadas e consideradas incorretas sob as hipóteses que cada uma enuncia, a única alternativa verdadeira é a (a) — isto é, “Nenhuma das outras alternativas está correta”.

Resposta

(a)

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