\square e. Suponha que possuímos 100 pontos e escolhemos 50 aleatoriamente para interpolar um valor com um polinômio de grau 49. Para evitar o fenômeno de Runge, devemos escolher os pontos de forma a minimizar o erro de truncamento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Temos 100 pontos (em algum intervalo) e vamos escolher 50 desses pontos para construir um polinômio interpolador de grau 49.
  • O objetivo é “evitar o fenômeno de Runge” escolhendo os pontos de modo a minimizar o erro de truncamento (ou seja, o termo resto da interpolação).
  • O que se pede: indicar como escolher esses 50 pontos para que o erro de interpolação seja o menor possível (no sentido de controlar o máximo do erro).

Passo 2

Entendendo o erro de interpolação (a peça-chave). Seja f a função que estamos aproximando e seja p_n o polinômio interpolador de grau n construído nas abscissas \{x_0,x_1,\dots,x_n\}. O erro (resto) da interpolação em um ponto x é dado pela fórmula
R_n(x)=f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,\omega(x),
onde \xi depende de x (existência garantida pelo teorema do resto de Lagrange) e
\omega(x)=\prod_{i=0}^{n}(x-x_i).
Explicando cada termo:
  • f^{(n+1)}(\xi) é a (n+1)-ésima derivada de f em algum ponto \xi. Isso depende da função original e não das escolhas dos nós.
  • (n+1)! é apenas um fator numérico.
  • \omega(x) depende exclusivamente das posições dos nós x_0,\dots,x_n. É o termo que podemos controlar escolhendo os nós.

Passo 3

O que podemos controlar e o que devemos minimizar. Como não controlamos f^{(n+1)}(\xi), a estratégia óbvia é escolher os nós para tornar |\omega(x)| pequeno (especialmente o seu supremo no intervalo de interesse). Em termos práticos, para reduzir o erro máximo de interpolação sobre um intervalo I queremos escolher \{x_i\} de modo a minimizar
\max_{x\in I} |\omega(x)|=\max_{x\in I}\left|\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)\right|.
É esse crescimento de |\omega(x)| perto das extremidades do intervalo que causa o fenômeno de Runge quando se usam nós equiespaçados.

Passo 4

Qual polinômio tem a menor oscilação possível? Existe um resultado clássico: entre todos os polinômios monicos (ou seja, com coeficiente líder igual a 1) de grau n+1, o que minimiza o máximo absoluto em [-1,1] é, até constante, o polinômio de Chebyshev. Em termos de nós, isso implica que as raízes do polinômio de Chebyshev de grau n+1 são a escolha que minimiza \max_{x\in[-1,1]}|\omega(x)|. Portanto, para interpolar com grau n (usando n+1 nós) devemos usar os zeros do polinômio de Chebyshev de grau n+1.

Passo 5

Fórmula prática dos nós de Chebyshev. Para n=49 (ou seja, polinômio de grau 49 com 50 nós) os nós ótimos na referência [-1,1] são as raízes de T_{50}(x). Essas raízes são
t_k=\cos\!\left(\frac{2k-1}{2\,(50)}\pi\right),\qquad k=1,2,\dots,50,
ou seja
t_k=\cos\!\left(\frac{(2k-1)\pi}{100}\right).
Esses pontos ficam mais concentrados perto das extremidades -1 e 1, o que combate a oscilação que causa Runge.

Passo 6

Mapeamento para um intervalo arbitrário. Se os 100 pontos (ou o intervalo de interesse) estiverem em um intervalo qualquer [a,b] e não em [-1,1], mapeamos os nós de Chebyshev por afinidade:
x_k=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\,t_k,
com t_k dado acima. Assim obtemos os 50 nós na posição correta no intervalo real onde os dados estão.

Passo 7

E se só posso escolher entre os 100 pontos dados (discretos)? Então você não pode colocar precisamente os nós de Chebyshev, mas a ideia prática é: selecione, entre os 100 disponíveis, os 50 cujas abscissas aproximem melhor a distribuição de Chebyshev (ou seja, mais densos perto das extremidades do intervalo). Em provas, costuma-se dizer: “escolher nós de Chebyshev” ou “aproximar nós de Chebyshev” quando os nós são predefinidos.

Passo 8

Observações práticas e numéricas rápidas (para provas):
  • Dizer “usar nós de Chebyshev” é a resposta teórica padrão para minimizar o erro máximo e evitar Runge.
  • Em implementações numéricas, combine essa escolha com métodos estáveis de avaliação/interpolação (por exemplo, fórmula barycêntrica) para evitar instabilidade numérica.
  • Exemplo de função que evidencia Runge: \displaystyle f(x)=\frac{1}{1+25x^2} em [-1,1]. Interpolação em nós equiespaçados com grau alto oscila muito; em nós de Chebyshev a aproximação fica bem melhor.

Resposta

Escolher os 50 nós como as raízes do polinômio de Chebyshev de grau 50 (na referência [-1,1])
t_k=\cos\!\left(\frac{(2k-1)\pi}{100}\right),\;k=1,\dots,50,
ou, se o intervalo for [a,b], usar os nós mapeados
x_k=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\,t_k.
Se só for possível escolher entre os 100 pontos dados, selecionar os 50 que melhor aproximem essa distribuição de Chebyshev (mais concentrados nas extremidades).

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