Considere os pontos:
1
4
9
16
0
1
4
8
Considere a função de regressão
cujo parâmetro
foi ajustado pelo método dos quadrados mínimos com os pontos dados.
Qual o valor de
?
|
|
1 | 4 | 9 | 16 |
|
|
0 | 1 | 4 | 8 |
Passo 1
O enunciado pede que a gente ajuste por mínimos quadrados a função de regressão
usando os pontos dados e, em seguida, calcule o valor de
.
Informações relevantes fornecidas:
Os pares observados são
,
,
e
. O modelo a ajustar é
com único parâmetro
. A pergunta final é: qual é
após ajustar
?
Passo 2
Entendendo o modelo e a forma do ajuste: aqui o modelo é linear no parâmetro
(mesmo que envolva
), pois podemos escrever
Para cada ponto
temos o erro
. O método dos quadrados mínimos escolhe
que minimiza a soma dos quadrados dos erros:
Passo 3
Derivação da fórmula do estimador de
(a ideia importante para a prova): minimizar
em relação a
pede derivar
e igualar a zero. Fazendo isso:
Igualando a zero e reorganizando obtemos a equação normal para este caso:
Portanto, a solução para
é
Aqui
e
. Expliquei isso passo a passo porque é a técnica que você deve usar na prova quando o modelo é linear no parâmetro.
Passo 4
Calculemos as quantidades necessárias a partir dos dados. Primeiro as raízes:
Agora formamos
para cada ponto e somamos:
E a soma dos quadrados de
(que é simplesmente a soma de
):
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do
:
Expliquei antes o que cada soma representa; aqui simplificamos a fração para
.
Passo 6
Finalmente calculamos
. Pela definição
, temos
Se quiser um valor numérico aproximado, calcule
e então