Considere os pontos:
x 1 4 9 16
y 0 1 4 8
Considere a função de regressão u(x)=b \sqrt{x} cujo parâmetro b foi ajustado pelo método dos quadrados mínimos com os pontos dados.
Qual o valor de u(26) ? \square

Passo 1

O enunciado pede que a gente ajuste por mínimos quadrados a função de regressão u(x)=b\sqrt{x} usando os pontos dados e, em seguida, calcule o valor de u(26).
Informações relevantes fornecidas:
\begin{array}{c|cccc} x & 1 & 4 & 9 & 16\\hline y & 0 & 1 & 4 & 8 \end{array}
Os pares observados são (x_1,y_1)=(1,0), (x_2,y_2)=(4,1), (x_3,y_3)=(9,4) e (x_4,y_4)=(16,8). O modelo a ajustar é u(x)=b\sqrt{x} com único parâmetro b. A pergunta final é: qual é u(26) após ajustar b?

Passo 2

Entendendo o modelo e a forma do ajuste: aqui o modelo é linear no parâmetro b (mesmo que envolva \sqrt{x}), pois podemos escrever
u(x)=b\cdot \varphi(x),\quad\text{onde}\quad \varphi(x)=\sqrt{x}.
Para cada ponto i temos o erro e_i = y_i - b\varphi(x_i). O método dos quadrados mínimos escolhe b que minimiza a soma dos quadrados dos erros:
S(b)=\sum_{i=1}^{4}\big(y_i - b\varphi(x_i)\big)^2.

Passo 3

Derivação da fórmula do estimador de b (a ideia importante para a prova): minimizar S(b) em relação a b pede derivar S(b) e igualar a zero. Fazendo isso:
\frac{dS}{db} = \frac{d}{db}\sum_{i=1}^{4}\big(y_i - b\varphi(x_i)\big)^2 = -2\sum_{i=1}^{4}\varphi(x_i)\big(y_i - b\varphi(x_i)\big).
Igualando a zero e reorganizando obtemos a equação normal para este caso:
\sum_{i=1}^{4}\varphi(x_i)y_i = b\sum_{i=1}^{4}\varphi(x_i)^2.
Portanto, a solução para b é
b = \frac{\sum_{i=1}^{4}\varphi(x_i)y_i}{\sum_{i=1}^{4}\varphi(x_i)^2}.
Aqui \varphi(x_i)=\sqrt{x_i} e \varphi(x_i)^2=x_i. Expliquei isso passo a passo porque é a técnica que você deve usar na prova quando o modelo é linear no parâmetro.

Passo 4

Calculemos as quantidades necessárias a partir dos dados. Primeiro as raízes:
\sqrt{1}=1,\quad \sqrt{4}=2,\quad \sqrt{9}=3,\quad \sqrt{16}=4.
Agora formamos \varphi(x_i)y_i=\sqrt{x_i}\,y_i para cada ponto e somamos:
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{4}\sqrt{x_i}\,y_i &= 1\cdot 0 + 2\cdot 1 + 3\cdot 4 + 4\cdot 8\\\ &= 0 + 2 + 12 + 32\\\ &= 46. \end{aligned}
E a soma dos quadrados de \varphi(x_i) (que é simplesmente a soma de x_i):
\sum_{i=1}^{4}\varphi(x_i)^2 = \sum_{i=1}^{4} x_i = 1+4+9+16 = 30.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do b:
b = \frac{\sum_{i=1}^{4}\sqrt{x_i}\,y_i}{\sum_{i=1}^{4} x_i} = \frac{46}{30} = \frac{23}{15}.
Expliquei antes o que cada soma representa; aqui simplificamos a fração para \dfrac{23}{15}.

Passo 6

Finalmente calculamos u(26). Pela definição u(x)=b\sqrt{x}, temos
u(26)=b\sqrt{26}=\frac{23}{15}\sqrt{26}.
Se quiser um valor numérico aproximado, calcule \sqrt{26}\approx 5,0990195 e então
u(26)\approx \frac{23}{15}\cdot 5,0990195 \approx 7,8185.

Resposta

\displaystyle u(26)=\frac{23}{15}\sqrt{26}\approx 7,8185

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