A Sra. Honorina Manuela é uma senhora muito destemida que resolveu praticar bungee jump. Para isso, ela foi até uma plataforma de salto que fica a 100 m de altura em relação à base de um certo vale. A corda elástica utilizada por Honorina em seu salto tem comprimento natural de 50,0 m. Ao saltar, Honorina abre seus braços, e deixa seu corpo cair com um grande sorriso no rosto. Durante o salto, a altura mínima de Honorina em relação à base do vale é h min =10,0 m. Honorina tem massa m=60,0 kg, a massa da corda elástica é desprezível, e durante o salto não há nenhum tipo de perda de energia. (Desconsidere a altura da Sra. Honorina.) Calcule a constante elástica da mola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A Sra. Honorina fez um salto de bungee de uma plataforma de 100 metros usando uma corda com comprimento natural de 50 metros. No ponto mais baixo do salto, ela está a 10 metros do chão. Queremos descobrir a constante elástica da corda, que basicamente nos diz quão “flexível” ou “resistente” a corda é quando esticada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Energia Potencial Gravitacional e Energia Potencial Elástica, aplicando a Lei da Conservação da Energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as energias envolvidas. Quando a Honorina está na plataforma, ela tem Energia Potencial Gravitacional (EPG) devido à sua altura. Ao saltar, essa energia se transforma em Energia Potencial Elástica (EPE) quando a corda é esticada na sua máxima extensão. Como não há perda de energia, a EPG inicial se iguala à EPE no ponto mais baixo.

Passo 3

Vamos calcular a Energia Potencial Gravitacional inicial. A fórmula é:
EPG = m cdot g cdot h
Onde:
  • $ m = 60 , kg $ (massa da Honorina)
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
  • $ h = 100 , m $ (altura da plataforma)
Substituindo os valores:
m = 60 , kg
g = 9,8 , m/s^2
h = 100 , m

Passo 4

Agora, vamos calcular a Energia Potencial Elástica no ponto mais baixo. A fórmula é:
EPE = 12 cdot k cdot x^2
Onde:
  • $ k $ é a constante elástica que queremos encontrar
  • $ x $ é a extensão da corda além do seu comprimento natural
Primeiro, precisamos encontrar $ x $. A altura inicial era 100 m, e no ponto mais baixo ela está a 10 m do chão, logo a corda está esticada até o chão menos a altura mínima:
k ã
Mas lembre-se que a corda tem comprimento natural de 50 m, então a extensão além do comprimento natural é:
x

Passo 5

Agora, aplicamos a conservação da energia, onde a EPG inicial se iguala à EPE no ponto mais baixo:
EPG = EPE
58.800 = 12 cdot k cdot (40)^2
Resolvendo para $ k $:
k
58.800 = 12 cdot k cdot 1600
58.800 = 800k
k = 58.800800

Resposta

A constante elástica da corda é $ k = 73,5 , N/m $.

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