. Calcule:
Sendo D a região que satisfaz
e
. Sugestão, faça
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do disco unitário
sujeita a
. O problema sugere usar a mudança de variáveis
Passo 2
Vamos achar
em função de
e o jacobiano. Resolvendo o sistema
temos
O determinante da matriz
vale em módulo
Passo 3
Em
a condição do disco fica
e a desigualdade
é simplesmente
Logo a região transformada é o semicírculo de raio
em que
.
Passo 4
Reescrevendo o integrando:
Assim
E o elemento de área vira
. Portanto a integral passa a ser
Passo 5
Em coordenadas polares no plano
definimos
com
e
. O integrando mais o jacobiano
dá
Mas
logo toda a integral é zero.