\star \star \star 19. Calcule:
\iint_{D} \frac{(x+y) e^{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}}{\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}} d A
Sendo D a região que satisfaz x^{2}+y^{2} \leq 1 e x-y \geq 0. Sugestão, faça u=x+y e v=x-y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{(x+y)\,e^{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}}{\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}\,dA
onde D é a região do disco unitário x^{2}+y^{2}\le1 sujeita a x-y\ge0. O problema sugere usar a mudança de variáveis
u = x+y, \quad v = x-y.

Passo 2

Vamos achar (x,y) em função de (u,v) e o jacobiano. Resolvendo o sistema
u = x+y, \quad v = x-y
temos
x = \tfrac{u+v}{2}, \quad y = \tfrac{u-v}{2}.
O determinante da matriz \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} vale em módulo
\bigl|J\bigr| = \frac12.

Passo 3

Em (u,v) a condição do disco fica
x^{2}+y^{2} = \frac{u^{2}+v^{2}}{2} \le 1 \quad\Longrightarrow\quad u^{2}+v^{2}\le 2,
e a desigualdade x-y\ge0 é simplesmente v\ge0. Logo a região transformada é o semicírculo de raio \sqrt2 em que v\ge0.

Passo 4

Reescrevendo o integrando:
x+y = u, \quad (x+y)^{2}+(x-y)^{2} = u^{2}+v^{2}, \quad \sqrt{2x^{2}+2y^{2}} = \sqrt{u^{2}+v^{2}}.
Assim
\frac{(x+y)\,e^{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}}{\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}} = \frac{u}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\,e^{\,u^{2}+v^{2}}.
E o elemento de área vira dA = \tfrac12\,du\,dv. Portanto a integral passa a ser
\frac12 \iint_{u^{2}+v^{2}\le2,\;v\ge0} \frac{u}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\,e^{u^{2}+v^{2}}\,du\,dv.

Passo 5

Em coordenadas polares no plano (u,v) definimos
u = r\cos\varphi, \quad v = r\sin\varphi,
com r\in[0,\sqrt2] e \varphi\in[0,\pi]. O integrando mais o jacobiano r\,dr\,d\varphi
\frac12 \int_{\varphi=0}^{\pi} \int_{r=0}^{\sqrt2} \frac{r\cos\varphi}{r}\,e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\varphi = \frac12 \int_{0}^{\pi}\cos\varphi\,d\varphi \int_{0}^{\sqrt2}r\,e^{r^{2}}\,dr.
Mas
\int_{0}^{\pi}\cos\varphi\,d\varphi = 0,
logo toda a integral é zero.

Resposta

0

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