\star 9. Calcule \iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2} y^{2}} d A, sendo D a região limitada por x y=1, x y=4, x=1 e x=4.
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular
\iint_{D}\frac{x\,y}{1+x^{2}y^{2}}\,dA
onde D é a região limitada pelas curvas xy=1, xy=4, x=1 e x=4. Esse tipo de integral sugere usar mudança de variáveis que transforme xy numa única variável, simplificando o integrando.
Passo 2
Escolhemos a mudança de variáveis
u = x\,y, \quad v = x.
Assim, y = \frac{u}{v} e x = v. Nosso objetivo é reescrever dA = dx\,dy e o integrando em função de u e v.
Passo 3
Calculamos o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y)=(v,u/v).
As derivadas são