\star 9. Calcule \iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2} y^{2}} d A, sendo D a região limitada por x y=1, x y=4, x=1 e x=4.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\iint_{D}\frac{x\,y}{1+x^{2}y^{2}}\,dA
onde D é a região limitada pelas curvas xy=1, xy=4, x=1 e x=4. Esse tipo de integral sugere usar mudança de variáveis que transforme xy numa única variável, simplificando o integrando.

Passo 2

Escolhemos a mudança de variáveis
u = x\,y, \quad v = x.
Assim, y = \frac{u}{v} e x = v. Nosso objetivo é reescrever dA = dx\,dy e o integrando em função de u e v.

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y)=(v,u/v).
As derivadas são
x_u = 0,\quad x_v = 1, \quad y_u = \frac{1}{v},\quad y_v = -\frac{u}{v^2},
logo
J = \det\begin{pmatrix} x_u & x_v\\[6pt] y_u & y_v \end{pmatrix} = 0\cdot\Bigl(-\frac{u}{v^2}\Bigr) -1\cdot\frac{1}{v} =-\frac1v \quad\Longrightarrow\quad \bigl|J\bigr|=\frac1v.
Isso implica
dA = \bigl|J\bigr|\,du\,dv = \frac{1}{v}\,du\,dv.]

Passo 4

No novo sistema, as curvas xy=1 e xy=4 viram u=1 e u=4, e x=1 e x=4 viram v=1 e v=4. Então a região D' em (u,v) é o retângulo
1 \le u \le 4, \quad 1 \le v \le 4.
O integrando \frac{x\,y}{1+x^{2}y^{2}} torna-se \frac{u}{1+u^{2}}, de modo que a integral fica
\iint_{D}\frac{x\,y}{1+x^{2}y^{2}}\,dA = \int_{v=1}^{4}\!\!\int_{u=1}^{4} \frac{u}{1+u^{2}}\;\frac{1}{v}\;du\,dv.

Passo 5

Podemos separar as variáveis porque o integrando é produto de uma função só de u por outra só de v:
\int_{v=1}^{4}\frac{1}{v}\,dv \;\times\; \int_{u=1}^{4}\frac{u}{1+u^{2}}\,du.
Calculamos cada uma:
\int_{v=1}^{4}\frac{1}{v}\,dv = \ln(4) - \ln(1) = \ln(4),
\int_{u=1}^{4}\frac{u}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\bigl[\ln\bigl(1+u^{2}\bigr)\bigr]_{1}^{4} = \frac{1}{2}\bigl(\ln(17)-\ln(2)\bigr).

Passo 6

Multiplicando os resultados:
\ln(4)\;\times\;\frac{1}{2}\bigl(\ln(17)-\ln(2)\bigr) = \frac{\ln(4)}{2}\,\ln\!\bigl(\tfrac{17}{2}\bigr).
Como \ln(4)=2\ln(2), obtemos
2\ln(2)\,\frac{1}{2}\bigl(\ln(17)-\ln(2)\bigr) = \ln(2)\,\bigl(\ln(17)-\ln(2)\bigr).

Resposta

\iint_{D}\frac{x\,y}{1+x^{2}y^{2}}\,dA = \ln(2)\,\bigl(\ln(17)-\ln(2)\bigr).

Exercícios relacionados