Esboce a região de integração, e calcule
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
e calcular a integral
O conteúdo é mudança da ordem de integração em integrais duplas para facilitar o cálculo.
Passo 2
Descrevendo a região
no plano
:
- A condição
é uma faixa horizontal. - A condição
diz que estamos à direita da reta e à esquerda da reta vertical .
Esboço (aproximado):
– A reta passa pela origem com inclinação 2.
– O corte vertical e o limite superior
fecham o polígono triangular.
– A reta
– O corte vertical
Passo 3
Para trocar a ordem, observamos que em
temos
pois, para cada
entre
e
,
varia de
até a reta
(e
). Assim
Passo 4
No interior,
é independente de
, então
Logo a integral fica
Reconhecemos que
. Então
Resposta
O valor da integral é
.