Esboce a região de integração, e calcule
\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\ln 3}} e^{x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
0 \le y \le 2\sqrt{\ln 3}, \qquad \frac{y}{2} \le x \le \sqrt{\ln 3},
e calcular a integral
\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\ln 3}} e^{x^{2}} \,dx\,dy.
O conteúdo é mudança da ordem de integração em integrais duplas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Descrevendo a região R no plano (x,y):
  • A condição 0\le y\le 2\sqrt{\ln3} é uma faixa horizontal.
  • A condição \tfrac y2\le x\le \sqrt{\ln3} diz que estamos à direita da reta x=y/2 e à esquerda da reta vertical x=\sqrt{\ln3}.
Esboço (aproximado):
– A reta y=2x passa pela origem com inclinação 2.
– O corte vertical x=\sqrt{\ln3} e o limite superior y=2\sqrt{\ln3} fecham o polígono triangular.

Passo 3

Para trocar a ordem, observamos que em R temos
0\le y\le 2\sqrt{\ln3}, \quad \frac y2\le x\le \sqrt{\ln3} \quad\Longleftrightarrow\quad 0\le x\le \sqrt{\ln3}, \quad 0\le y\le 2x,
pois, para cada x entre 0 e \sqrt{\ln3}, y varia de 0 até a reta y=2x (e 2x\le 2\sqrt{\ln3}). Assim
\int_{0}^{2 \sqrt{\ln 3}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\ln 3}} e^{x^{2}} \,dx\,dy =\int_{0}^{\sqrt{\ln3}}\int_{0}^{2x} e^{x^{2}} \,dy\,dx.

Passo 4

No interior, e^{x^2} é independente de y, então
\int_{0}^{2x} e^{x^{2}} \,dy =e^{x^{2}}\;\bigl[y\bigr]_{0}^{2x} =2x\,e^{x^{2}}.
Logo a integral fica
\int_{0}^{\sqrt{\ln3}} 2x\,e^{x^{2}} \,dx.
Reconhecemos que \frac{d}{dx}\bigl(e^{x^2}\bigr)=2x\,e^{x^2}. Então
\int_{0}^{\sqrt{\ln3}} 2x\,e^{x^{2}} \,dx =\bigl[e^{x^2}\bigr]_{0}^{\sqrt{\ln3}} =e^{(\sqrt{\ln3})^2}-e^{0} =e^{\ln3}-1 =3-1=2.

Resposta

O valor da integral é 2.

Exercícios relacionados