a)(star) Se f é contínua em [0,1], calcule lim x 0^+ x integralx^1 f(t)t d t.

Passo 1

O enunciado diz que f é contínua em [0,1] e pede
limxto0^+ x integralx^1 f(t)t,dt
Como f é contínua em [0,1], em particular f(0) existe e é finito. Vamos usar uma decomposição de f(t) em torno de t=0.

Passo 2

Escrevemos
integralx^1 f(t)t,dt = f(0)integralx^1dtt + integralx^1f(t)-f(0)t,dt
Assim o produto torna-se
xintegralx^1f(t)t,dt = f(0),xintegralx^1dtt + xintegralx^1f(t)-f(0)t,dt

Passo 3

Calculamos cada termo:
  1. Primeiro termo:
xintegralx^1dtt = xl[-ln(x)r] = -xln(x),
e como limxto0^+xln(x)=0, segue
limxto0^+f(0),xintegralx^1dtt = f(0)cdot0 = 0
  1. Segundo termo: seja
    M = maxtin[0,1]|f(t)-f(0)|.
    Então
|integralx^1f(t)-f(0)t,dt| <= Mintegralx^1dtt = Ml[-ln(x)r]
Logo
|xintegralx^1f(t)-f(0)t,dt| <= M,xl(-ln(x)r)
e como x(-ln x)to0 temos também
limxto0^+xintegralx^1f(t)-f(0)t,dt = 0

Passo 4

Somando as duas partes, o limite total é
limxto0^+xintegralx^1f(t)t,dt = 0 + 0 = 0

Resposta

0

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