Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
x^2 sen 4 x

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de x^2sin(4x). O conteúdo principal é o uso da propriedade
Lt^nf(t)(s) = (-1)^nd^nds^nl[Lf(t)(s)r]
Para resolver, vamos precisar da transformada de sin(4x) e depois aplicar a derivação em s duas vezes (pois n=2).

Passo 2

Primeiro, lembramos que
Lsin(4x)(s)=4s^2+16
Chamando
F(s)=Lsin(4x)(s)=4s^2+16,
a propriedade diz que
Lx^2sin(4x)(s) = (-1)^2d^2ds^2F(s) =d^2ds^2F(s)

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de F(s). Temos
F(s)=4,(s^2+16)^-1,
então
F'(s) =4cdot(-1)(s^2+16)^-2cdot 2s =-8s(s^2+16)^2

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada F''(s). Diferenciando
F'(s)=-8s,(s^2+16)^-2,
usamos a regra do produto:
F''(s) =-8,(s^2+16)^-2 +(-8s)cdot(-2)(s^2+16)^-3cdot 2s

Passo 5

Simplificando os termos:
F''(s) =-8(s^2+16)^2 +32s^2(s^2+16)^3 =-8(s^2+16)+32s^2(s^2+16)^3 =24s^2-128(s^2+16)^3 =8,3s^2-16(s^2+16)^3

Resposta

Lx^2sin(4x)(s) =8,3s^2-16(s^2+16)^3

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