Starting with the Fick’s equation for the diffusion of A through a binary mixture of components A and B
\mathbf{N}_{A}=-c D_{A B} \boldsymbol{\nabla} y_{A}+y_{A}\left(\mathbf{N}_{A}+\mathbf{N}_{B}\right)
derive the following relations, stating the assumptions made in the derivations:
\mathbf{J}_{A}=-D_{A B} \boldsymbol{\nabla} c_{A}

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão da molar fluxa total de A em um sistema binário A- B:
\mathbf{N}_{A} = -c\,D_{AB}\,\boldsymbol{\nabla}y_{A} \;+\; y_{A}\bigl(\mathbf{N}_{A}+\mathbf{N}_{B}\bigr).
Aqui c é a concentração total molar, y_{A}=c_{A}/c a fração molar de A, D_{AB} o coeficiente de difusão e \mathbf{N}_{A}+\mathbf{N}_{B} a vazão molar convectiva. Queremos chegar à forma
\mathbf{J}_{A} = -D_{AB}\,\boldsymbol{\nabla}c_{A}.
Para isso vamos (i) definir a vazão difusiva \mathbf{J}_{A} em relação ao referencial de massa média; (ii) usar a hipótese de contrafluxo equimolar; (iii) assumir concentração total constante.

Passo 2

Definimos a vazão difusiva de A relativa ao referencial molar médio como
\mathbf{J}_{A} \;\equiv\; \mathbf{N}_{A} \;-\; y_{A}\bigl(\mathbf{N}_{A}+\mathbf{N}_{B}\bigr).
Substituindo a expressão dada para \mathbf{N}_{A} obtém-se
\mathbf{J}_{A} \;=\; -\,c\,D_{AB}\,\boldsymbol{\nabla}y_{A}.
Até aqui só reagrupamos termos e definimos \mathbf{J}_{A}.

Passo 3

Agora fazemos duas suposições clássicas em difusão binária:
  1. Contrafluxo equimolar: \mathbf{N}_{A}+\mathbf{N}_{B}=0, o que implica \mathbf{J}_{A}=\mathbf{N}_{A}.
  2. Sistema isobárico e isotérmico com densidade constante: c= constante, logo
y_{A}=\frac{c_{A}}{c} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{\nabla}y_{A} =\frac{1}{c}\,\boldsymbol{\nabla}c_{A}.
Substituindo em \mathbf{J}_{A} = -c\,D_{AB}\,\boldsymbol{\nabla}y_{A}
\mathbf{J}_{A} = -\,c\,D_{AB}\,\frac{1}{c}\,\boldsymbol{\nabla}c_{A} = -\,D_{AB}\,\boldsymbol{\nabla}c_{A}.

Resposta

\mathbf{J}_{A} = -D_{AB}\,\boldsymbol{\nabla}c_{A}.

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