Escoamento em tubo circular (escoamento de Poiseuille cilíndrico): Um fluido escoa em regime permanente através de um tubo cilíndrico horizontal de raio R, também sob a ação de um gradiente de pressão constante d p / d z. O movimento é unidirecional, no eixo z.
a) Simplifique as equações de Navier-Stokes no sistema de coordenadas cilíndricas.
b) Obtenha o perfil de velocidade u(r).
c) Deduzir a expressão da vazão volumétrica Q em função de R, do gradiente de pressão e da viscosidade dinâmica \mu.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento permanente, unidirecional (no eixo z), em um tubo cilíndrico horizontal de raio R sob gradiente de pressão constante \dfrac{dp}{dz}. Vamos usar as equações de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), assumindo simetria axial e independência de \theta e z para a velocidade, que é \mathbf{u}=(0,0,u(r)).

Passo 2

Primeiro simplificamos as equações de Navier–Stokes:
– A equação da continuidade em regime permanente para \mathbf{u}=(0,0,u(r)) é
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\cdot 0\bigr)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}(0)+\frac{\partial u}{\partial z}=0,
que fica satisfeita automaticamente porque u=u(r).
– A componente radial e a azimutal da equação de momento dão apenas identidades.
– A componente axial z em estado permanente e sem forças de corpo é
0 = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu\Biggl[\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Bigl(r\frac{du}{dr}\Bigr)\Biggr].

Passo 3

Resolvendo a ODE
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Bigl(r\frac{du}{dr}\Bigr) \;=\;\frac{1}{\mu}\,\frac{dp}{dz},
multiplicamos por r e integramos uma vez:
r\frac{du}{dr} = \frac{dp}{dz}\,\frac{r^2}{2\mu} + C_1.
Para manter du/dr finito em r=0 exige-se C_1=0. Assim
\frac{du}{dr} = \frac{dp}{dz}\,\frac{r}{2\mu}.
Integramos de novo:
u(r) = \frac{dp}{dz}\,\frac{r^2}{4\mu} + C_2.
A condição de não deslizamento na parede u(R)=0
C_2 = -\,\frac{dp}{dz}\,\frac{R^2}{4\mu},
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u(r) = \frac{dp}{dz}{4\mu}\bigl(r^2 - R^2\bigr) = -\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}\,\bigl(R^2 - r^2\bigr).

Passo 4

A vazão volumétrica é
Q = \int_{0}^{R} u(r)\,2\pi r\,dr = -\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}\,2\pi \int_{0}^{R}\bigl(R^2 - r^2\bigr)r\,dr.
Calculando o integral:
\int_{0}^{R}(R^2r - r^3)\,dr = \frac{R^2R^2}{2} - \frac{R^4}{4} = \frac{R^4}{4},
então
Q = -\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dz}\,2\pi\,\frac{R^4}{4} = -\frac{\pi R^4}{8\mu}\,\frac{dp}{dz}.

Resposta

a) As equações simplificadas em coordenadas cilíndricas são
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\frac{du}{dr}\bigr) =\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz},
com \tfrac{\partial p}{\partial r}=0, \tfrac{\partial p}{\partial\theta}=0.
b) O perfil de velocidade é
u(r) = -\frac{1}{4\mu}\,\frac{dp}{dz}\,\bigl(R^2 - r^2\bigr).
c) A vazão volumétrica é
Q = -\frac{\pi R^4}{8\mu}\,\frac{dp}{dz}.

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