Escoamento em tubo circular (escoamento de Poiseuille cilíndrico): Um fluido escoa em regime permanente através de um tubo cilíndrico horizontal de raio
, também sob a ação de um gradiente de pressão constante
. O movimento é unidirecional, no eixo
.
a) Simplifique as equações de Navier-Stokes no sistema de coordenadas cilíndricas.
b) Obtenha o perfil de velocidade
.
c) Deduzir a expressão da vazão volumétrica
em função de
, do gradiente de pressão e da viscosidade dinâmica
.
a) Simplifique as equações de Navier-Stokes no sistema de coordenadas cilíndricas.
b) Obtenha o perfil de velocidade
c) Deduzir a expressão da vazão volumétrica
Passo 1
O enunciado descreve um escoamento permanente, unidirecional (no eixo
), em um tubo cilíndrico horizontal de raio
sob gradiente de pressão constante
. Vamos usar as equações de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas
, assumindo simetria axial e independência de
e
para a velocidade, que é
.
Passo 2
Primeiro simplificamos as equações de Navier–Stokes:
– A equação da continuidade em regime permanente para é
– A equação da continuidade em regime permanente para
que fica satisfeita automaticamente porque
.
– A componente radial e a azimutal da equação de momento dão apenas identidades.
– A componente axial em estado permanente e sem forças de corpo é
– A componente radial e a azimutal da equação de momento dão apenas identidades.
– A componente axial
Passo 3
Resolvendo a ODE
multiplicamos por
e integramos uma vez:
Para manter
finito em
exige-se
. Assim
Integramos de novo:
A condição de não deslizamento na parede
dá
logo
Passo 4
A vazão volumétrica é
Calculando o integral:
então
Resposta
a) As equações simplificadas em coordenadas cilíndricas são
com
,
.
b) O perfil de velocidade é
c) A vazão volumétrica é