Escoamento entre placas paralelas (escoamento de Poiseuille planar): Um fluido escoa entre duas placas paralelas fixas, separadas por uma distância 2 h. O movimento é unidirecional, na direção x, sob ação de um gradiente de pressão constante d p / d x.
a) Simplifique as equações de Navier-Stokes para este caso.
b) Obtenha o perfil de velocidade u(y).
c) Determine a vazão volumétrica Q por unidade de profundidade.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos escoamento estacionário, unidimensional (somente u(x,y,z)=u(y)), entre duas placas paralelas fixas em y=-h e y=+h, separadas por 2h. Há um gradiente de pressão constante \dfrac{dp}{dx}. O objetivo é usar as equações de Navier–Stokes para fluido newtoniano incompressível, obter o perfil de velocidade u(y) e depois calcular a vazão volumétrica Q por unidade de profundidade (eixo z).

Passo 2

Simplificamos as equações de Navier–Stokes para regime estacionário ( \partial/\partial t=0), incompressível ( \nabla\cdot\mathbf{v}=0), e para escoamento unidirecional e paralelo ( v=0, w=0, u=u(y), sem variação em x nem em z). A única componente não nula da equação de quantidade de movimento é a de x:
0 = -\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx} + \nu \,\frac{d^2u}{dy^2},
onde \nu=\mu/\rho. Multiplicando por \rho obtemos
\mu\,\frac{d^2u}{dy^2} = \frac{dp}{dx}\,.

Passo 3

Integramos duas vezes em y:
\mu\,\frac{d^2u}{dy^2}=\frac{dp}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \mu\,\frac{du}{dy}=\frac{dp}{dx}\,y + C_1 \quad\Longrightarrow\quad \mu\,u(y)=\frac{dp}{dx}\,\frac{y^2}{2}+C_1\,y + C_2.
Ou seja,
u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y^2 + \frac{C_1}{\mu}\,y + \frac{C_2}{\mu}.

Passo 4

Aplicamos as condições de não deslizamento nas placas y=\pm h:
u(h)=0 \quad\text{e}\quad u(-h)=0.
Subtraindo-as conclui-se que C_1=0. Em seguida
0=u(h)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,h^2 + \frac{C_2}{\mu} \quad\Longrightarrow\quad C_2=-\frac{1}{2}\frac{dp}{dx}\,h^2.
Logo o perfil parabólico é
\boxed{ u(y) =\frac{1}{2\mu}\,\frac{dp}{dx}\,\bigl(y^2 - h^2\bigr) }
que, definindo -G=dp/dx (com G>0), fica
u(y)=\frac{G}{2\mu}\,(h^2-y^2).

Passo 5

A vazão volumétrica por unidade de profundidade Q é
Q=\int_{-h}^{h}u(y)\,dy =\int_{-h}^{h}\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,\bigl(y^2-h^2\bigr)dy.
Calculando:
\int_{-h}^{h}y^2\,dy=\frac{2h^3}{3}, \quad \int_{-h}^{h}h^2\,dy=2h^3,
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Q =\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx} \Bigl(\tfrac{2h^3}{3}-2h^3\Bigr) =\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,\Bigl(-\tfrac{4h^3}{3}\Bigr) =-\frac{2h^3}{3\mu}\,\frac{dp}{dx}.
Usando dp/dx=-G,
\boxed{ Q=\frac{2\,h^3}{3\,\mu}\;G }.

Resposta

(a) A equação de momento reduz a
\mu\,\frac{d^2u}{dy^2}=\frac{dp}{dx},
com u=u(y).
(b) O perfil de velocidade é
u(y)=\frac{1}{2\mu}\,\frac{dp}{dx}\,\bigl(y^2-h^2\bigr) =\frac{G}{2\mu}\,(h^2-y^2).
(c) A vazão volumétrica por unidade de profundidade é
Q=-\frac{2h^3}{3\mu}\,\frac{dp}{dx} =\frac{2h^3}{3\mu}\;G.

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