Q3) Uma startup de base científica desenvolveu um sensor de umidade baseado em um capacitor cilíndrico coaxial, com eletrodos condutores dispostos em duas camadas concêntricas. O sensor, de 15 cm de comprimento, possui: (3 pontos)
  • Um cilindro interno condutor de raio a=2,0 mm, carregado com uma densidade linear de carga lambda=+2,5 times 10^-8 C / m;
  • Um cilindro externo condutor, coaxial, de raio b=8,0 mm, mantido em potencial nulo;
  • Entre os dois cilindros, encontra-se um material dielétrico com permissividade elétrica varepsilon=2,0 varepsilon 0, sensível à umidade relativa do ar.
    (a) Utilizando a Lei de Gauss, determine a intensidade do campo elétrico E(r) entre os cilindros, no intervalo a.
    (b) Com base em sua resposta ao item (a), calcule a diferença de potencial entre os cilindros.
    © Determine a capacitância do sensor. Expresse o valor final em pF.
    (d) Supondo que o sensor seja conectado a uma fonte de 12 V , qual será a carga armazenada no capacitor?
    (e) Como uma IA poderia ser útil para simular, automatizar ou otimizar o funcionamento deste sensor em um sistema físico real?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos um capacitor cilíndrico coaxial de comprimento L = 0,15 m, com:
• Eletrodo interno (raio a = 2,0 mm) carregado com densidade linear λ = +2,5×10⁻⁸ C/m;
• Eletrodo externo (raio b = 8,0 mm) em potencial zero;
• Entre eles há um dielétrico com ε = 2 ε₀.
Conteúdo: eletrostática de dielétricos, Lei de Gauss, potencial elétrico e capacitância.
O que vamos usar:
  1. Lei de Gauss adaptada a dielétrico (D·A = Q_livre);
  2. Relação D = εE;
  3. V = –∫E·dr;
  4. C = Q/V;
  5. Q = C·V_fonte.

Passo 2

(a) Campo elétrico E® para a < r < b
  1. Escolho uma superfície cilíndrica gaussiana coaxial de raio r (a<r<b) e comprimento L.
  2. Lei de Gauss no dielétrico:
    ∮D·dA = Q_livre_encl ⇒ D®·(2πrL) = λL ⇒ D® = λ/(2πr).
  3. Como D = εE e ε = 2ε₀, temos E(r) = D(r)ε = λ2pi,ε,r = λ2pi,(2ε0),r = λ4piε0,r,

Passo 3

(b) Diferença de potencial ΔV = V(a) – V(b)
  1. Por definição, V(b)=0 e ΔV = -integralb^a E(r),dr
    2) Substituindo E®:
    $$ΔV = -\int_b^a \frac{λ}{2\pi,ε,r},dr
      = \frac{λ}{2\pi\,ε}\int_a^b \frac{dr}{r}
      = \frac{λ}{2\pi\,ε}\,\ln\!\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr).$$

Passo 4

© Capacitância C
  1. Por definição, C = Q/ΔV e aqui Q = λL.
  2. Então$$C = \frac{λL}{(λ/(2\pi ε))\ln(b/a)}
     = \frac{2\pi\,ε\,L}{\ln(b/a)}.$$
    
  3. Numericamente:
    ε = 2ε₀ = 2·8,85×10⁻¹² F/m = 1,77×10⁻¹¹ F/m
    L = 0,15 m, ln(b/a) = ln(8 mm/2 mm) = ln4 ≈ 1,386 C = λL(λ/(2pi ε))ln(b/a) = 2pi,ε,Lln(b/a)

Passo 5

(d) Carga armazenada com fonte 12 V
$$Q = C·V = (1{,}20×10^{-11},F)(12,V)
      = 1{,}44×10^{-10}\,\text{C}.$$

Passo 6

(e) Como uma IA poderia ajudar?
• Simular o campo e a resposta do dielétrico em função da umidade;
• Ajustar parâmetros (ε) com aprendizado de máquina para calibrar o sensor;
• Automatizar a leitura e filtragem de ruídos;
• Prever derivações no sinal e sugerir manutenção ou recalibração em tempo real.

Resposta

a) E(r)=λ2pi,ε,r=λ4piε0,r(a
b) ΔV=λ2pi,εln!l(bar)
c) C=2pi,ε,Lln(b/a)approx12,0;pF
d) Q=C·12;Vapprox1,44×10^-10;C
e) IA pode simular, calibrar, filtrar sinais e otimizar o sensor automaticamente.

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