Q3) Uma startup de base científica desenvolveu um sensor de umidade baseado em um capacitor cilíndrico coaxial, com eletrodos condutores dispostos em duas camadas concêntricas. O sensor, de 15 cm de comprimento, possui: (3 pontos)
- Um cilindro interno condutor de raio
, carregado com uma densidade linear de carga
;
- Um cilindro externo condutor, coaxial, de raio
, mantido em potencial nulo;
- Entre os dois cilindros, encontra-se um material dielétrico com permissividade elétrica
, sensível à umidade relativa do ar.
(a) Utilizando a Lei de Gauss, determine a intensidade do campo elétrico
entre os cilindros, no intervalo
.
(b) Com base em sua resposta ao item (a), calcule a diferença de potencial entre os cilindros.
© Determine a capacitância do sensor. Expresse o valor final em pF.
(d) Supondo que o sensor seja conectado a uma fonte de 12 V , qual será a carga armazenada no capacitor?
(e) Como uma IA poderia ser útil para simular, automatizar ou otimizar o funcionamento deste sensor em um sistema físico real?
(a) Utilizando a Lei de Gauss, determine a intensidade do campo elétrico
(b) Com base em sua resposta ao item (a), calcule a diferença de potencial entre os cilindros.
© Determine a capacitância do sensor. Expresse o valor final em pF.
(d) Supondo que o sensor seja conectado a uma fonte de 12 V , qual será a carga armazenada no capacitor?
(e) Como uma IA poderia ser útil para simular, automatizar ou otimizar o funcionamento deste sensor em um sistema físico real?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos um capacitor cilíndrico coaxial de comprimento L = 0,15 m, com:
• Eletrodo interno (raio a = 2,0 mm) carregado com densidade linear λ = +2,5×10⁻⁸ C/m;
• Eletrodo externo (raio b = 8,0 mm) em potencial zero;
• Entre eles há um dielétrico com ε = 2 ε₀.
• Eletrodo interno (raio a = 2,0 mm) carregado com densidade linear λ = +2,5×10⁻⁸ C/m;
• Eletrodo externo (raio b = 8,0 mm) em potencial zero;
• Entre eles há um dielétrico com ε = 2 ε₀.
Conteúdo: eletrostática de dielétricos, Lei de Gauss, potencial elétrico e capacitância.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Lei de Gauss adaptada a dielétrico (D·A = Q_livre);
- Relação D = εE;
- V = –∫E·dr;
- C = Q/V;
- Q = C·V_fonte.
Passo 2
(a) Campo elétrico E® para a < r < b
- Escolho uma superfície cilíndrica gaussiana coaxial de raio r (a<r<b) e comprimento L.
- Lei de Gauss no dielétrico:
∮D·dA = Q_livre_encl ⇒ D®·(2πrL) = λL ⇒ D® = λ/(2πr). - Como D = εE e ε = 2ε₀, temos
Passo 3
(b) Diferença de potencial ΔV = V(a) – V(b)
- Por definição, V(b)=0 e
2) Substituindo E®:
$$ΔV = -\int_b^a \frac{λ}{2\pi,ε,r},dr= \frac{λ}{2\pi\,ε}\int_a^b \frac{dr}{r} = \frac{λ}{2\pi\,ε}\,\ln\!\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr).$$
Passo 4
© Capacitância C
- Por definição, C = Q/ΔV e aqui Q = λL.
- Então$$C = \frac{λL}{(λ/(2\pi ε))\ln(b/a)}
= \frac{2\pi\,ε\,L}{\ln(b/a)}.$$
- Numericamente:
ε = 2ε₀ = 2·8,85×10⁻¹² F/m = 1,77×10⁻¹¹ F/m
L = 0,15 m, ln(b/a) = ln(8 mm/2 mm) = ln4 ≈ 1,386
Passo 5
(d) Carga armazenada com fonte 12 V
$$Q = C·V = (1{,}20×10^{-11},F)(12,V)
= 1{,}44×10^{-10}\,\text{C}.$$
Passo 6
(e) Como uma IA poderia ajudar?
• Simular o campo e a resposta do dielétrico em função da umidade;
• Ajustar parâmetros (ε) com aprendizado de máquina para calibrar o sensor;
• Automatizar a leitura e filtragem de ruídos;
• Prever derivações no sinal e sugerir manutenção ou recalibração em tempo real.
• Simular o campo e a resposta do dielétrico em função da umidade;
• Ajustar parâmetros (ε) com aprendizado de máquina para calibrar o sensor;
• Automatizar a leitura e filtragem de ruídos;
• Prever derivações no sinal e sugerir manutenção ou recalibração em tempo real.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) IA pode simular, calibrar, filtrar sinais e otimizar o sensor automaticamente.
e) IA pode simular, calibrar, filtrar sinais e otimizar o sensor automaticamente.