Use a definição para calcular as transformadas das funçÔes abaixo.
1-t & 0= 1

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a transformada de Laplace da função f(t) definida por f(t)=1-t para 0 e f(t)=0 para t>=1. O conteúdo é Transformada de Laplace e vamos usar a definição F(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt.

Passo 2

Como f(t)=0 para t>=1, podemos trocar o limite superior de +infty por 1. Assim
F(s)=integral0^1(1-t)e^-st,dt

Passo 3

Para facilitar, separamos em duas integrais: integral0^1e^-st,dt menos integral0^1t,e^-st,dt.

Passo 4

Calculamos primeiro I1=integral0^1e^-st,dt. Pela primitivação direta temos
I1=[-1se^-st]0^1=1-e^-ss

Passo 5

Agora I2=integral0^1t,e^-st,dt. Usamos integração por partes: tomamos u=t e dv=e^-st,dt, daí du=dt e v=-tfrac1se^-st. Então
I2=l-tse^-str]0^1+integral0^11se^-st,dt=-e^-ss+1scdot1-e^-ss

Passo 6

Simplificando I2 obtemos
I2=-e^-ss+1-e^-ss^2

Passo 7

Voltando para F(s):
F(s)=I1-I2=1-e^-ss-l(-e^-ss+1-e^-ss^2r)

Passo 8

Ao simplificar chegamos a
F(s)=1s-1-e^-ss^2

Resposta

A transformada de Laplace é F(s)=dfrac1s-dfrac1-e^-ss^2, que também pode ser escrita como dfracs-1+e^-ss^2.

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