Um subconjunto U de um plano é dito um conjunto convexo se, e somente se, para todos os pontos A e B do subconjunto U tivermos que o segmento de reta AB é subconjunto de U. De acordo com a definição de conjunto convexo dado acima, assinale a(s) alternativa(s) VERDADEIRA(S). Escolha uma ou mais:
A - A intersecção de dois conjuntos convexos não é um subconjunto convexo.
B - Todo semi-plano é um conjunto convexo.
C - Todo triângulo ABC divide o plano que o contém em duas regiões convexas.
D - Dados duas circunferências concêntricos com raios R1
E - Se dois conjuntos são convexos, então a união deles é também um conjunto convexo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre conjuntos convexos no plano. A definição que a gente tem é que um conjunto $ U $ é convexo se, para qualquer dois pontos $ A $ e $ B $ em $ U $, o segmento de reta que liga $ A $ a $ B $ também está todo dentro de $ U $. Precisamos analisar cada alternativa para ver quais são verdadeiras com base nessa definição.

Passo 2

Alternativa A: A interseção de dois conjuntos convexos não é um subconjunto convexo.
Vamos pensar nisso. Sabemos que a interseção de dois conjuntos convexos é convexa. Por quê? Porque se $ A $ e $ B $ são convexos, qualquer segmento que liga dois pontos na interseção estará dentro de ambos os conjuntos, logo na interseção. Portanto, a interseção de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo. Então, a alternativa A está errada.

Passo 3

Alternativa B: Todo semi-plano é um conjunto convexo.
Um semi-plano é uma das duas partes que o plano é dividido por uma reta. Se pegarmos dois pontos em um semi-plano, o segmento que liga eles também estará todo no semi-plano, já que o semi-plano não “sai” desse lado da reta. Assim, todo semi-plano cumpre a definição de conjunto convexo. Portanto, a alternativa B está certa.

Passo 4

Alternativa C: Todo triângulo ABC divide o plano que o contém em duas regiões convexas.
Vamos visualizar um triângulo no plano. Ele divide o plano em duas partes: o interior do triângulo e o exterior. O interior do triângulo é um conjunto convexo porque qualquer segmento entre dois pontos dentro dele permanece dentro. Já o exterior do triângulo também é convexo, pois qualquer dois pontos fora do triângulo podem ter seu segmento de reta completamente fora do triângulo. Assim, ambas as regiões são convexas. Portanto, a alternativa C está certa.

Passo 5

Alternativa D: Dados duas circunferências concêntricas com raios $ R_1 $…
Parece que a alternativa D está incompleta, mas vamos tentar entender. Se temos duas circunferências concêntricas, provavelmente a questão queria falar sobre a união ou interseção dessas circunferências. Sabemos que a união de dois conjuntos convexos nem sempre é convexa, e no caso de duas circunferências concêntricas, a união não seria convexa, pois poderíamos ter pontos cuja linha reta entre eles passaria fora da união. Portanto, assumindo que a alternativa D seguia nessa linha, ela estaria errada.

Passo 6

Alternativa E: Se dois conjuntos são convexos, então a união deles é também um conjunto convexo.
Esse é um ponto importante. A união de dois conjuntos convexos não é necessariamente convexa. Por exemplo, imagine dois círculos separados; cada um é convexo, mas a união deles forma uma forma em “anel” onde, se você pegar um ponto de cada círculo, o segmento entre eles passa fora da união. Portanto, a alternativa E está errada.

Resposta

As alternativas B e C são verdadeiras.

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