O conceito formal de limites pode ser bastante trabalhoso na prática; por isso, regras (propriedades) foram desenvolvidas de modo a poder resolver problemas envolvendo limites de forma mais eficiente e prática. Nesse contexto, supondo que c seja uma constante e os limites limx → af(x) e limx → ag(x) existam, analise as afirmações a seguir assinalando a resposta correta:
I. O limite de uma constante multiplicando uma função é igual à soma desta constante ao limite da função. II. II
I. O limite de uma função elevada a n é equivalente a n vezes o limite dessa função, ou seja,
IV. O limite de uma constante é a própria constante.
V. limx → axn=an onde n é um inteiro positivo.
A. IV e V.
B. II, III e IV.
C. I, III e V.
D. III e IV.
E. I, II e III.
I. O limite de uma constante multiplicando uma função é igual à soma desta constante ao limite da função. II. II
I. O limite de uma função elevada a n é equivalente a n vezes o limite dessa função, ou seja,
IV. O limite de uma constante é a própria constante.
V. limx → axn=an onde n é um inteiro positivo.
A. IV e V.
B. II, III e IV.
C. I, III e V.
D. III e IV.
E. I, II e III.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está lidando com limites de funções, que é um assunto importante no cálculo. A questão apresenta algumas afirmações sobre propriedades dos limites e pergunta quais estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades básicas dos limites, como passar constantes para fora do limite, limites de funções potências, e o limite de uma constante.
Passo 2
Vamos analisar a afirmação I:
I. O limite de uma constante multiplicando uma função é igual à soma desta constante ao limite da função.
Primeiro, vamos entender o que está sendo dito. Eles estão dizendo que se você tem uma constante multiplicando uma função, o limite disso é a soma da constante com o limite da função. Mas será que isso está certo?
Na verdade, a propriedade correta é:
Ou seja, o limite de uma constante multiplicando uma função é igual à constante multiplicada pelo limite da função, não à soma. Então, a afirmação I está incorreta.
Passo 3
Vamos para a afirmação III:
III. O limite de uma função elevada a $ n $ é equivalente a $ n $ vezes o limite dessa função, ou seja,
Aqui, a propriedade correta é:
Portanto, dizer que o limite de $ f(x)^n $ é igual a $ n $ vezes o limite de $ f(x) $ está errado. O correto é elevar o limite à potência $ n $, não multiplicar por $ n $. Assim, a afirmação III está incorreta.
Passo 4
Agora, a afirmação IV:
IV. O limite de uma constante é a própria constante.
Isso significa que se você tem uma constante $ c $, então:
Isso está completamente correto. O limite de uma constante, independente de $ a $, é sempre a própria constante. Portanto, a afirmação IV está correta.
Passo 5
Por fim, a afirmação V:
V.
, onde $ n $ é um inteiro positivo.
Aqui, estamos falando sobre o limite de $ x $ elevado a uma potência $ n $. De fato, se $ f(x) = x^n $, então:
Isso está correto para qualquer inteiro positivo $ n $. Portanto, a afirmação V está correta.
Resposta
A única afirmação correta é a IV e V, ou seja, a opção A.