Quais dos subconjuntos são Subespaços Vetoriais de V ?
W=[lla & b c & d] in M2 times 2(R) rvert,, b=c, V=M2 times 2(R)

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = M2times2(R)
e o subconjunto
W = ,a & b c & din M2times2(R) mid b = c
Para verificar se W é subespaço de V usamos o critério padrão:
  1. Wneqemptyset (contém o vetor zero).
  2. Fechamento sob adição.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio verificando que a matriz zero de V pertence a W. A matriz zero é
0V = 0 & 00 & 0,
e nela b=0 e c=0, logo b=c. Assim 0Vin W.

Passo 3

Verificamos fechamento sob adição. Se
X = a1 & b1 c1 & d1in W e Y = a2 & b2 c2 & d2in W,
então b1=c1 e b2=c2. A soma é
X+Y = a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2
Como b1+b2 = c1+c2, temos (X+Y)in W.

Passo 4

Verificamos fechamento sob multiplicação escalar. Se lambdainR e
X = a & b c & din W
com b=c, então
lambda X = lambda a & lambda b lambda c & lambda d
Como lambda b = lambda c, segue lambda Xin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalares, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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