Para os subespaços S1 e S2 de R^3 dados, determine S1 cap S2, S1+S2 e suas dimensões. Indique se a soma é direta ou não.
S1=[lx y z] in R^3, x=y e S2=[lx y z] in R^3, x+y+z=0

Passo 1

O enunciado pede para achar a interseção e a soma de dois subespaços de R^3, bem como suas dimensões e verificar se a soma é direta. O conteúdo principal aqui é subespaços vetoriais, interseção, soma e a fórmula das dimensões.

Passo 2

Para entender S1, note que ele é dado por (x,y,z):x=y. Podemos escrever
(x,y,z) = (t,t,s) = t,(1,1,0) + s,(0,0,1),
logo
S1 = span(1,1,0),(0,0,1),
e portanto dim(S1)=2.

Passo 3

Para S2 temos (x,y,z):x+y+z=0. Da equação z=-x-y segue
(x,y,z)=(x,y,-x-y)=x,(1,0,-1)+y,(0,1,-1),
então
S2 = span(1,0,-1),(0,1,-1),
e dim(S2)=2.

Passo 4

Um vetor em S1cap S2 satisfaz x=y e x+y+z=0. Como y=x, a segunda dá 2x+z=0, isto é z=-2x. Logo
(x,x,z)=(x,x,-2x)=x,(1,1,-2),
de onde
S1cap S2=span(1,1,-2) Rightarrow dim(S1cap S2)=1

Passo 5

Usando a fórmula das dimensões,
dim(S1+S2) =dim(S1)+dim(S2)-dim(S1cap S2) =2+2-1=3
Como R^3 tem dimensão 3, segue que S1+S2=R^3.

Passo 6

A soma não é direta porque S1cap S2neq0 (na verdade tem dimensão 1).

Resposta

S1cap S2=t(1,1,-2)mid tinR, dim(S1cap S2)=1\n
S1+S2=R^3, dim(S1+S2)=3\n
A soma não é direta.

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