Para os subespaços e de dados, determine e suas dimensões. Indique se a soma é direta ou não. e S2=[lx y z] in R^3, x+y+z=0
Passo 1
O enunciado pede para achar a interseção e a soma de dois subespaços de R^3, bem como suas dimensões e verificar se a soma é direta. O conteúdo principal aqui é subespaços vetoriais, interseção, soma e a fórmula das dimensões.
Passo 2
Para entender S1, note que ele é dado por (x,y,z):x=y. Podemos escrever
(x,y,z) = (t,t,s) = t,(1,1,0) + s,(0,0,1),
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S1 = span(1,1,0),(0,0,1),
e portanto dim(S1)=2.
Passo 3
Para S2 temos (x,y,z):x+y+z=0. Da equação z=-x-y segue
(x,y,z)=(x,y,-x-y)=x,(1,0,-1)+y,(0,1,-1),
então
S2 = span(1,0,-1),(0,1,-1),
e dim(S2)=2.
Passo 4
Um vetor em S1cap S2 satisfaz x=y e x+y+z=0. Como y=x, a segunda dá 2x+z=0, isto é z=-2x. Logo