Para os subespaços S1 e S2 de R^3 dados, determine S1 cap S2, S1+S2 e suas dimensões. Indique se a soma é direta ou não.
S1=[lx y z] in R^3, x-2 y+z=0 e 2 x-z=0 e S2=[lx y z] in R^3, x+y=0

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^3:
S1=l,(x,y,z)inR^3 mid x-2y+z=0,;2x-z=0r,
S2=l,(x,y,z)inR^3 mid x+y=0r
Queremos encontrar S1cap S2, S1+S2, suas dimensões e verificar se a soma é direta.

Passo 2

Para parametrizar
Da segunda equação vem é
Para evitar frações, escolhemos o gerador
de modo que

Passo 3

Para S2, a condição é x+y=0, ou seja y=-x. Então
(x,y,z)=(x,-x,z)=x,(1,-1,0)+z,(0,0,1)
Podemos tomar como base
v2=(1,-1,0), v3=(0,0,1),
de modo que
S2=spanv2,v3, dim S2=2

Passo 4

Para achar S1cap S2, buscamos lambda tal que
lambda,(2,3,4)in S2,
isto é satisfaça x+y=0:
2lambda+3lambda=0;Longrightarrow;5lambda=0;Longrightarrow;lambda=0
Assim
S1cap S2=0, dim(S1cap S2)=0

Passo 5

A dimensão da soma é dada por
dim(S1+S2) =dim S1+dim S2-dim(S1cap S2) =1+2-0=3
Como R^3 tem dimensão 3, segue que
S1+S2=R^3

Passo 6

A soma é direta se e somente se S1cap S2=0. Como já vimos que a interseção é trivial, concluímos que
S1oplus S2=R^3

Resposta

S1cap S2=0, dim(S1cap S2)=0
S1+S2=R^3, dim(S1+S2)=3
A soma é direta.

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