Para os subespaços
e
de
dados, determine
e suas dimensões. Indique se a soma é direta ou não.
e
2 x-z=0 e
S2=[lx y z] in R^3, x+y=0
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
R^3 :
Queremos encontrar
S1cap S2 ,
S1+S2 , suas dimensões e verificar se a soma é direta.
Passo 2
Para parametrizar
Da segunda equação vem é
Para evitar frações, escolhemos o gerador
de modo que
Passo 3
Para
S2 , a condição é
x+y=0 , ou seja
y=-x . Então
Podemos tomar como base
de modo que
Passo 4
Para achar
S1cap S2 , buscamos
lambda tal que
isto é satisfaça
x+y=0 :
Assim
Passo 5
A dimensão da soma é dada por
Como
R^3 tem dimensão 3, segue que
Passo 6
A soma é direta se e somente se
S1cap S2=0 . Como já vimos que a interseção é trivial, concluímos que
Resposta
A soma é direta.