Para os subespaços e de dados, determine e suas dimensões. Indique se a soma é direta ou não. e S2=[lx y z] in R^3, x+3 y=0
Passo 1
O enunciado nos dá dois subespaços de R^3:
S1=(x,y,z)mid x-2y+z=0, S2=(x,y,z)mid x+3y=0
Queremos encontrar S1cap S2, S1+S2, as dimensões de cada um e verificar se a soma é direta. Vamos usar forma paramétrica para cada plano, resolver sistemas lineares para a interseção, aplicar a fórmula
dim(S1+S2)=dim(S1)+dim(S2)-dim(S1cap S2),
e lembrar que a soma é direta se, e só se, S1cap S2=0.
Passo 2
Primeiro achamos bases e dimensões de S1 e S2.
Para S1, a equação é x-2y+z=0. Tomando parâmetros y=s, z=t, temos
x=2s-t,
então qualquer vetor de S1 escreve-se
(x,y,z)=(2s-t,;s,;t) =s,(2,1,0)+t,(-1,0,1)
Assim uma base é (2,1,0),,(-1,0,1) e dim(S1)=2.
Para S2, a equação é x+3y=0. Tomando y=u, z=v, obtemos