Para os subespaços S1 e S2 de R^3 dados, determine S1 cap S2, S1+S2 e suas dimensões. Indique se a soma é direta ou não.
S1=[lx y z] in R^3, x-2 y+z=0 e S2=[lx y z] in R^3, x+3 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá dois subespaços de R^3:
S1=(x,y,z)mid x-2y+z=0, S2=(x,y,z)mid x+3y=0
Queremos encontrar S1cap S2, S1+S2, as dimensões de cada um e verificar se a soma é direta. Vamos usar forma paramétrica para cada plano, resolver sistemas lineares para a interseção, aplicar a fórmula
dim(S1+S2)=dim(S1)+dim(S2)-dim(S1cap S2),
e lembrar que a soma é direta se, e só se, S1cap S2=0.

Passo 2

Primeiro achamos bases e dimensões de S1 e S2.
Para S1, a equação é x-2y+z=0. Tomando parâmetros y=s, z=t, temos
x=2s-t,
então qualquer vetor de S1 escreve-se
(x,y,z)=(2s-t,;s,;t) =s,(2,1,0)+t,(-1,0,1)
Assim uma base é (2,1,0),,(-1,0,1) e dim(S1)=2.
Para S2, a equação é x+3y=0. Tomando y=u, z=v, obtemos
x=-3u,
e
(x,y,z)=u,(-3,1,0)+v,(0,0,1)
Logo uma base é (-3,1,0),,(0,0,1) e dim(S2)=2.

Passo 3

Para
Da segunda . Logo
e

Passo 4

Usando a fórmula da dimensão da soma:
dim(S1+S2) =dim(S1)+dim(S2)-dim(S1cap S2) =2+2-1=3
Como R^3 tem dimensão 3 e S1+S2subseteqR^3, segue que
S1+S2=R^3

Passo 5

A soma é direta se S1cap S2=0, mas aqui dim(S1cap S2)=1, ou seja, há um vetor não‐nulo em comum. Portanto a soma não é direta.

Resposta

S1cap S2=span(-3,1,5),;dim(S1cap S2)=1
S1+S2=R^3,;dim(S1+S2)=3
A soma não é direta.

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