Para os subespaços
e
de
dados, determine
e suas dimensões. Indique se a soma é direta ou não.
e
S2=[[c-1 2 0],[l3 1 1]]
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
R^3 :
e
Pede-se
S1cap S2 ,
S1+S2 , as dimensões desses subespaços e se a soma é direta.
Passo 2
Primeiro determinamos dimensões e bases de
S1 e
S2 .
- Em
, a condiçãoS1 dáy=0 comS1 = (x,0,z) = spane1,e3, .dim S1=2 - Em
, verificamos que os vetoresS2
ev=-120
não são múltiplos um do outro, logow=311
edim S2=2 S2 = spanv,w
Passo 3
Para achar
, impomos que um vetor genérico de
, dado por
tenha segunda componente
. Assim,
Substituindo,
Logo
e
.
Passo 4
Usamos a fórmula de dimensão da soma:
Como estamos em
R^3 , um subespaço de dimensão 3 é todo
R^3 . Portanto
A soma é direta se e somente se
S1cap S2 = 0 . Aqui
dim(S1cap S2)=1 , logo a soma não é direta.
Resposta
A soma não é direta.