Para os subespaços S1 e S2 de R^3 dados, determine S1 cap S2, S1+S2 e suas dimensões. Indique se a soma é direta ou não.
S1=[lx y z] in R^3, y=0 e S2=[[c-1 2 0],[l3 1 1]]

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^3:
S1 = (x,y,z)inR^3 mid y=0
e
S2 = spanl-120,,311r
Pede-se S1cap S2, S1+S2, as dimensões desses subespaços e se a soma é direta.

Passo 2

Primeiro determinamos dimensões e bases de S1 e S2.
  • Em S1, a condição y=0 S1 = (x,0,z) = spane1,e3, com dim S1=2.
  • Em S2, verificamos que os vetores
    v=-120 e
    w=311 não são múltiplos um do outro, logo
    dim S2=2 e S2 = spanv,w

Passo 3

Para achar , impomos que um vetor genérico de , dado por
tenha segunda componente . Assim,
Substituindo,
Logo
e .

Passo 4

Usamos a fórmula de dimensão da soma:
dim(S1+S2) = dim S1 + dim S2 - dim(S1cap S2) = 2 + 2 - 1 = 3
Como estamos em R^3, um subespaço de dimensão 3 é todo R^3. Portanto
S1+S2 = R^3
A soma é direta se e somente se S1cap S2 = 0. Aqui dim(S1cap S2)=1, logo a soma não é direta.

Resposta

S1cap S2 = spanl-70-2,
dim(S1cap S2)=1.
S1+S2 = R^3,
dim(S1+S2)=3.
A soma não é direta.

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