10. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
- Verifique se:
é linear.
- Determine:
- Determine a matriz associada à transformação.
- Determine o núcleo de:
Passo 1
O enunciado contém quatro pedidos. Vou listar exatamente o que é pedido e quais dados foram fornecidos:
- Verificar se a transformação
dada por é linear. - Calcular
- Determinar a matriz associada a essa transformação (presumivelmente na base canônica).
- Determinar o núcleo da transformação
dada por
Essas são as quatro perguntas que vou responder, passo a passo.
Passo 2
O que significa “linear”? Uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear quando satisfaz duas propriedades para todo
do domínio e todo escalar
:
- aditividade:
, - homogeneidade:
.
Vou usar essas definições para verificar linearidade da primeira transformação.
Passo 3
Verificação da aditividade para
.
Sejam
e
. Então
Aplicando
em
:
Agrupando termos:
Mas isso é exatamente
Logo a propriedade de aditividade vale.
Passo 4
Verificação da homogeneidade para
.
Seja
e
. Então
Aplicando
:
Fatorando
:
Portanto a homogeneidade também vale.
Passo 5
Conclusão sobre linearidade:
Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade foram verificadas, a transformação
é linear.
Passo 6
Cálculo de
.
Substituo
e
em
:
Passo 7
Como achar a matriz associada (na base canônica)?
Método: a matriz
associada a uma transformação linear
na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica do domínio. No caso
a base canônica é
e
. Então calculo
e
e monto a matriz cujas colunas são esses vetores.
Passo 8
Cálculo de
e
e montagem da matriz.
- Para
:
- Para
:
Colocando essas imagens como colunas, a matriz associada (na base canônica) é
Para checar rapidamente, multiplicando
pelo vetor coluna
obtém-se
que coincide com a definição de
, portanto a matriz está correta.]
Passo 9
Definição do núcleo e interpretação para o problema do núcleo.
O núcleo de uma transformação linear
é o conjunto
No exercício pedem
para a transformação
dada por
Ou seja, procurar todos
tais que
e
.
Passo 10
Resolver o sistema para o núcleo.
Temos o sistema linear
Da primeira equação segue
.
Da segunda segue .
Logo . Podemos escolher
como parâmetro livre; escrevendo
com
, obtemos
Da segunda segue
Logo
Portanto todos os vetores do núcleo são múltiplos escalares de
.]
Passo 11
Conclusão sobre o núcleo:
Observação rápida (útil para a prova): o núcleo é um subespaço unidimensional gerado por
; equivalente: solução geral
.
Resposta
Sim,
é linear.
A matriz associada (na base canônica) é
]