10. TRANSFORMAÇÕES LINEARES

  1. Verifique se:
T(x, y)=(2 x-y, x+y)
é linear.
  1. Determine:
T(1,2)
  1. Determine a matriz associada à transformação.
  2. Determine o núcleo de:
T(x, y, z)=(x+y, y+z)

Passo 1

O enunciado contém quatro pedidos. Vou listar exatamente o que é pedido e quais dados foram fornecidos:
  • Verificar se a transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por T(x,y)=(2x-y,\;x+y) é linear.
  • Calcular T(1,2).
  • Determinar a matriz associada a essa transformação (presumivelmente na base canônica).
  • Determinar o núcleo da transformação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dada por T(x,y,z)=(x+y,\;y+z).
Essas são as quatro perguntas que vou responder, passo a passo.

Passo 2

O que significa “linear”? Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear quando satisfaz duas propriedades para todo u,v do domínio e todo escalar c:
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. homogeneidade: T(cu)=c\,T(u).
Vou usar essas definições para verificar linearidade da primeira transformação.

Passo 3

Verificação da aditividade para T(x,y)=(2x-y,\;x+y).
Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T em u+v:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\; (x_1+x_2)+(y_1+y_2)\bigr).
Agrupando termos:
T(u+v)=\bigl( (2x_1-y_1)+(2x_2-y_2),\; (x_1+y_1)+(x_2+y_2)\bigr).
Mas isso é exatamente
T(u)+T(v)=\bigl(2x_1-y_1,\;x_1+y_1\bigr)+\bigl(2x_2-y_2,\;x_2+y_2\bigr).
Logo a propriedade de aditividade vale.

Passo 4

Verificação da homogeneidade para T.
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
c u = (c x,\; c y).
Aplicando T:
T(cu)=T(c x,\; c y)=\bigl(2(c x)- (c y),\; (c x)+(c y)\bigr).
Fatorando c:
T(cu)=c\bigl(2x-y,\; x+y\bigr)=c\,T(u).
Portanto a homogeneidade também vale.

Passo 5

Conclusão sobre linearidade:
Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade foram verificadas, a transformação T(x,y)=(2x-y,\;x+y) é linear.

Passo 6

Cálculo de \;T(1,2).
Substituo x=1 e y=2 em \;T(x,y)=(2x-y,\;x+y):
T(1,2)=\bigl(2\cdot1-2,\;1+2\bigr)=\bigl(0,\;3\bigr).

Passo 7

Como achar a matriz associada (na base canônica)?
Método: a matriz A associada a uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica do domínio. No caso n=2 a base canônica é \;e_1=(1,0) e \;e_2=(0,1). Então calculo T(e_1) e T(e_2) e monto a matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 8

Cálculo de T(e_1) e T(e_2) e montagem da matriz.
  • Para e_1=(1,0):
T(1,0)=(2\cdot1-0,\;1+0)=(2,\;1).
  • Para e_2=(0,1):
T(0,1)=(2\cdot0-1,\;0+1)=(-1,\;1).
Colocando essas imagens como colunas, a matriz associada (na base canônica) é
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Para checar rapidamente, multiplicando A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} obtém-se
\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x-y\\[4pt] x+y\end{pmatrix},
que coincide com a definição de T, portanto a matriz está correta.]

Passo 9

Definição do núcleo e interpretação para o problema do núcleo.
O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto
\ker T=\{v\in\text{domínio} \mid T(v)=0\}.í
No exercício pedem \ker T para a transformação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dada por T(x,y,z)=(x+y,\;y+z). Ou seja, procurar todos (x,y,z) tais que x+y=0 e y+z=0.

Passo 10

Resolver o sistema para o núcleo.
Temos o sistema linear
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] y+z=0. \end{cases}
Da primeira equação segue x=-y.
Da segunda segue z=-y.
Logo x=-y,\;z=-y. Podemos escolher y como parâmetro livre; escrevendo y=t com t\in\mathbb{R}, obtemos
(x,y,z)=(-t,\;t,\;-t)=t(-1,\;1,\;-1).
Portanto todos os vetores do núcleo são múltiplos escalares de (-1,1,-1).]

Passo 11

Conclusão sobre o núcleo:
\ker T=\operatorname{span}\{(-1,\;1,\;-1)\}.
Observação rápida (útil para a prova): o núcleo é um subespaço unidimensional gerado por (-1,1,-1); equivalente: solução geral (x,y,z)=t(-1,1,-1).

Resposta

Sim, T é linear.
T(1,2)=(0,3)
A matriz associada (na base canônica) é \begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
\ker T=\operatorname{span}\{(-1,\;1,\;-1)\}]

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